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【初中竞赛资料】二次根式运算

【初中竞赛资料】二次根式运算

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【初中竞赛资料】二次根式运算

第一讲二次根式运算

第一讲

二次根式运算

中考要求

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

二次根式的化简和运算

理解二次根式的加、减、乘、除运算法则

会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(不要求分母有理化)

知识点睛

知识点睛

一、二次根式概念及化简

二次根式的概念：形如()的式子叫做二次根式．

二次根式的基本性质：⑴()双重非负性;⑵();⑶

二、分母有理化

分母有理化：

把分母中的根号化去叫做分母有理化．

互为有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式．

与互为有理化因式;分式有理化时,一定要保证有理化因式不为0．

重、难点

重、难点

1、从二次根式的定义看出,二次根式的被开方数可以是一个数,也可以是一个式子,且被开方数必须是非负数．

2、二次根式的性质具有双重非负性,即二次根式中被开方数非负,算术平方根非负.

3、利用得到成立,可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．

例题精讲

例题精讲

一、二次根式的概念及性质

当时,有意义．

【巩固】当取何值时,式子在实数范围内有意义．

(第12届希望杯邀请赛)求代数式的最小值.

若,求的值.

【巩固】(人大附中初一第2学期期末考试)已知：,求的平方根.

在实数范围成立,那么的值是多少?

(2007年成都)已知,那么的值为.

【巩固】已知实数与非零实数满足等式：.求.

二、二次根式估算

⑴(2007年旅顺口区中考题)如右图,在数轴上,两点之间表示整数的点有个.

⑵(2007年盐城市)估计的值()

Ａ.在3到4之间Ｂ.在4到5之间Ｃ.在5到6之间Ｄ.在6到7之间

⑶(2007年安徽)的整数部分是_________.

(2008浙江温州)估算的值()

A．在和之间 B．在和之间

C．在和之间 D．在和之间

若整数满足,试确定的值.

三、二次根式比较大小

把根号外的因式适当变形后移入根号内：

⑴;⑵;⑶

把根号外的因式适当变形后移入根号内：

比较下列各组中两个数的大小．

⑴与⑵与

⑴(2007年河北省中考题)比较大小：．

⑵(2005～2006学年人大附中初一第2学期期末考试)

实数,,的大小关系是.(用＞”表示)

(盐城中考)比较大小：,,则

(第届希望杯”培训题)已知,,则与的大小关系是()

A.B.C.D.

比较大小：与

(山东市数学竞赛)

已知,,,,比较,,的大小.

(年全国初中数学联合竞赛试卷)

已知,,,那么,,的大小关系是＿＿＿＿.

A.B. C.D.

(年希望杯”培训试题)设,比较大小：____

设,,,,则下列各式一定成立的是______．

A．B．C．D．

比较大小：与

比较大小：与

比较与大小.

(第届希望杯”培训题)设,,,则的大小关系是()

A.B.C.D.

比较下列二次根式的大小：与

比较下列二次根式的大小：与

(第届希望杯”培训试题)

已知,则的大小关系是()

A.B.C.D.

【补充】(江苏省第二十届初中数学竞赛第试试卷)正实数,,,满足,

设则()．

A.B.C.D.与的大小关系不确定．

四、二次根式中的配方思想

已知实数,,满足,求的值.

已知实数,,满足,求

已知正数和,有下列命题：

⑴若,则;

⑵若,则;

⑶若,则.

根据以上三个命题所提供的规律,猜想若,则.

,则,并式证明上式成立.

已知非零实数、满足等式,求的值.

(年北京数学竞赛)

若正数,满足,求

【补充】已知正数,,且满足,求证：

已知,求、、的值．

设,求代数式的值．

如果实数满足,且,求的值.

设是实数,若,则=________.

五、双(多)重二次根式

双重二次根式：形如,二次根式的被开方数(式)中含有二次根式的式子叫双重二次根式．

多重二次根式：二次根式的被开方数(式)中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双(多)重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．

化简：⑴ ⑵

(2000年全国初中数学联赛题)计算的值.

化简：．

若表示实数的整数部分,则等于()．

A.B.C.D..

(北京市竞赛题)计算

若正整数、、满足,则、、的值依次是_______．

(第五届希望杯”数学邀请赛初二试题)设均为正整数,且,则的值是.

六、无理方程

解方程：

解方程：

解方程

无理方程的解是___________．

家庭作业

家庭作业

若,求的值.