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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第02讲-绝对值

第二讲绝对值

绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等

式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要

学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析．

一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是

零．即

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关．在数轴上

表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反

数．反之,相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实

数的绝对值是非负数．

例1a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜;

(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜;(3)｜a-b｜=｜b-a｜;

(4)若｜a｜=b,则a=b;

(5)若｜a｜＜｜b｜,则a＜b;

(6)若a＞b,则｜a｜＞｜b｜．

解(1)不对．当a,b同号或其中一个为0时成立．(2)对．

(3)对．

(4)不对．当a≥0时成立．

(5)不对．当b＞0时成立．

(6)不对．当a＋b＞0时成立．

例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-

b｜．

解由图1-1可知,a＞0,b＜0,c＜0,且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运

算的符号法则,有b-a＜0,a＋c＜0,c-b＜0．

再根据绝对值的概念,得

｜b-a｜=a-b,｜a+c｜=-(a+c),｜c-b｜=b-c．

于是有

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原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

例3已知x＜-3,化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号．

解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

=｜3+｜3+x｜｜

=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

=｜-x｜=-x．

解因为abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0．

(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;

(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;

(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;

(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1．

说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解

法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．

例5若｜x｜=3,｜y｜=2,且｜x-y｜=y-x,求x+y的值．

解因为｜x-y｜≥0,所以y-x≥0,y≥x．由｜x｜=3,｜y｜=2可知,x＜0,即x=-3．

(1)当y=2时,x+y=-1;

(2)当y=-2时,x+y=-5．

所以x+y的值为-1或-5．

1999

例6若a,b,c为整数,且｜a-b｜+｜c-a｜=1,试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的

值．

1999

解a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且｜a-b｜,｜c-a｜为两个非负整数,

和为1,所以只能是

｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1,①

或

｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②

由①有a=b且c=a±1,于是｜b-c｜=｜c-a｜=1;由②有c=a且a=b±1,于是｜b-

c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有