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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第07讲-含绝对值的方程及不等式

第七讲含绝对值的方程及不等式

从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外,

任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样

的．由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特

点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．

一个实数a的绝对值记作｜a｜,指的是由a所唯一确定的非负实数：

含绝对值的不等式的性质：

(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜;

(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的

手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,脱去绝时值符号,转化为不

含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论

法．在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予

以分析．

例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．

分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用零

掉绝对值符号再求解．

解(1)当x≥2时,原方程化为

(x-2)+(2x+1)=7,

-(x-2)+(2x+1)=7．

应舍去．

-(x-2)-(2x+1)=7．

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说明若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的

解不是方程的解,应舍去．

例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．

｜x-(2x+1)｜=3,

即｜1+x｜=3,

所以x=2或x=-4．

｜x+(2x+1)｜=3,

即｜3x+1｜=3,

的个数为2．

例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少?

解若a＜0,原方程无解,所以a≥0．由绝对值的定义可知

｜x-2｜-1=±a,

所以｜x-2｜=1±a．

(1)若a＞1,则｜x-2｜=1-a＜0,无解．｜x-2｜=1＋a,x只能有两个解x=3+a和

x=1-a．

(2)若0≤a≤1,则由｜x-2｜=1+a,求得

x=1-a或x=3+a;

由｜x-2｜=1-a,求得

x=1+a或x=3-a．

原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,a必为整数,所以a只能取

0或1．当a=0时,原方程的解为x=3,1,只有两个解,与题设不符,所以a≠0．当a=1

时,原方程的解为x=4,0,2,有三个解．

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综上可知,a=1．

例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围．

解设x为方程的负根,则-x=ax+1,即

所以应有a＞-1．反之,a＞-1时,原方程有负根．

设方程有正根x,则x=ax＋1,即

所以a＜1．反之,a＜1时,原方程有正根．

综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须a≥1．

例5设

求x+y．

分析从绝对值的意义知

两个非负实数和为零时,这两个