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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第14讲-面积问题

第十四讲面积问题

我们已经学过的面积公式有：

(2)S平行四边形=ah(其中h表a边上的高)．

的长,h表示平行边之间

的距离)．

由于多边形可以分割为若干个三角形,多边形的面积等于各三角形面积和,因此,

三角形的面积是面积问题的基础．

等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题,它是数学课外活动的重要内容,这

一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．

等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．

三角形的等积变形是多边形等积变形的基础,关于三角形的等积变形有以下几个

主要事实：

(1)等底等高的两个三角形面积相等．

(2)两个三角形面积之比,等于它们的底高乘积之比．

(3)两个等底三角形面积之比,等于它们的高之比．

(4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．

例1已知△ABC中三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为h=4,h=5,hc=3．求

ab

a∶b∶c．

解设△ABC的面积为S,则

所以

说明同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法,由此获得三边之比．

2

例2如图1－51,ABCD的面积为64平方厘米(cm),E,F分别为AB,AD的中点,求△

CEF的面积．

分析由于△CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出,因此,应设法将四边形分割

为三角形,利用面积比与底(高)比来解决．

解连接AC．E为AB中点,所以

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同理可得

S△cDF=16(平方厘米)．

连接DE,DB,F为AD中点,所以

从而

S△cEF=SaBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF

=64-16-16-8=24(平方厘米)．

说明(1)E,F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD,DE．

(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边

形对边相等及平行线间的距离处处相等,从而这两个三角形的底、高相等获知的．

分析直接求△DEF面积有困难,观察图形,发现△DEF与△DCF有共同的顶点D,其底边

在同一条直线上,因而,高相同．所以

于是,求△DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化

为△ADC的面积,进而转化为△ABC的面积．

点D,且底边EF,CF在

同一条直线上,

EF∶CF=2∶3,

同理,△DCF与△DCA有共同的顶点C,且底边DF,DA在同一条直线上,由已知

DF∶DA=2∶3,

所以

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例4用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．

分析与解如图1－53所示．设E,F分别是AB,AC的中点,可求得△EBC与△FBC的面积

相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC,因而这两个三角形的顶点

E,F在一条与底边BC平行的直线上,所以EF∥BC．

说明(1)从证题过程看出,条件E,F是所在边的中点”可

从而S△cBE=S△bCF．

这两个三角形同底BC,因此,它们的顶点E,F的连线与底边平行．

(2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形A