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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第15讲-奇数与偶数

第十五讲奇数与偶数

通常我们所说的单数”、双数”,也就是奇数和偶数,即±1,±3,±5,…是奇数,

0,±2,±4,±6,…是偶数

用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数,不能被2整除的整数是奇数．通

常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式,其中k为整数,偶数可以表示为2k的形式,

其中k是整数

奇数和偶数有以下基本性质：

性质1奇数≠偶数

性质2奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数

性质3奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=偶数,奇数×偶数=偶数

性质4奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数;任意有限个偶数之和为偶数

性质5若干个奇数的乘积是奇数,偶数与整数的乘积是偶数

性质6如果若干个整数的乘积是奇数,那么其中每一个因子都是奇数;如果若干个整数

的乘积是偶数,那么其中至少有一个因子是偶数

性质7如果两个整数的和(或差)是偶数,那么这两个整数的奇偶性相同;如果两个整数

的和(或差)是奇数,那么这两个整数一定是一奇一偶

性质8两个整数的和与差的奇偶性相同

性质9奇数的平方除以8余1,偶数的平方是4的倍数.

性质1至性质6的证明是很容易的,下面我们给出性质7至性质9的证明

性质7的证明设两个整数的和是偶数,如果这两个整数为一奇一偶,那么由性质2知,

它们的和为奇数,因此它们同为奇数或同为偶数

同理两个整数的和(或差)是奇数时,这两个数一定是一奇一偶

性质8的证明设两个整数为X,y．因为

(x+y)+(x-y)=2x

为偶数,由性质7便知,x+y与x-y同奇偶

性质9的证明若x是奇数,设x=2k+1,其中k为整数,于是

223

x=(2k+1)=4k+4k+1=4k(k+1)+1

因为k与k+1是两个连续的整数,它们必定一奇一偶,从而它们的乘积是偶数．于是,

2

x除以8余1

若y是偶数,设y=2t,其中t为整数,于是

222

y=(2t)=4t

2

所以,y是4的倍数

例1在1,2,3,…,1998中的每一个数的前面,任意添上一个+”或-”,那么最后运算

的结果是奇数还是偶数?

解由性质8知,这最后运算所得的奇偶性同

1+2+3+…+1998=999×1999

的奇偶性是相同的,即为奇数

例2设1,2,3,…,9的任一排列为a,a,…,a.求证：(a-1)(a-2)…(a-9)是一个偶

129129

数

证法1因为

(a-1)+(a-2)+(a-3)+…+(a-9)

1239

＝(a+a+…+a)-(1+2+…+9)

129

=0

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是偶数,所以,(a-1),(a-2),…,(a-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则,便得奇数

129

个(9个)奇数的和为偶数,与性质4矛盾),从而由性质5知

(a-1)(a-2)…(a-9)