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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导(初1)第18讲-加法原理与乘法原理

第十八讲加法原理与乘法原理

加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数,

就是数数,把一些对象的具体数目数出来．当然,情况简单时可以一个一个地数．如果

数目较大时,一个一个地数是不可行的,利用加法原理和乘法原理,可以帮助我们计

数．

加法原理完成一件工作有n种方式,用第1种方式完成有m种方法,用第2种方式完成

1

有m种方法,…,用第n种方式完成有m种方法,那么,完成这件工作总共有

2n

m+m+…+m

12n

种方法．

例如,从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次;坐

汽车每天有3个班次;乘飞机每天只有1个班次,那么,从A城到B城的方法共有

2+3+1=6种．

乘法原理完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m种方法,完成第2个步骤

1

有m种方法,…,完成第n个步骤有m种方法,那么,完成这一件工作共有

2n

m·m·…·m

12n

种方法．

例如,从A城到B城中间必须经过C城,从A城到C城共有3条路线(设为a,b,c),从

C城到B城共有2条路线(设为m,t),那么,从A城到B城共有3×2=6条路线,它们是：

am,at,bm,bt,cm,ct．

下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．

例1利用数字1,2,3,4,5共可组成

(1)多少个数字不重复的三位数?

(2)多少个数字不重复的三位偶数?

(3)多少个数字不重复的偶数?

解(1)百位数有5种选择;十位数有4种选择;个位数有3种选择．所以共有

5×40×3=60

个数字不重复的三位数．

(2)先选个位数,共有两种选择：2或4．在个位数选定后,十位数还有4种选择;

百位数有3种选择．所以共有

2×4×3=24

个数字不重复的三位偶数．

(3)分为5种情况：

一位偶数,只有两个：2和4．

二位偶数,共有8个：12,32,42,52,14,24,34,54．

三位偶数由上述(2)中求得为24个．

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四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．

五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．

由加法原理,偶数的个数共有

2+8+24+48+48=130．

例2从1到300的自然数中,完全不含有数字3的有多少个?

解法1将符合要求的自然数分为以下三类：

(1)一位数,有1,2,4,5,6,7,8,9共8个．

(2)二位数,在十位上出现的数字有1,2,4,5,6,7,8,98种情形,在个位上出现的数

字除以上八个数字外还有0,共9种情形,故二位数有8×9=72个．

(3)三位数,在百位上出现的数字有1,2两种情形,在十位、个位上出现的数字则

有0,1,2,4,5,6,7,8,9九种情形,故三位数有

2×9×9=162个．

因此,从1到300的自然数中完全不含数字3的共有

8+72+162=242个．

解法2将0到299的整数都看成三位数,其中数字3

不出现的,百位数