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【初中竞赛资料】全国初中数学竞赛辅导（初2）第12讲平行四边形

第十二讲平行四边形

平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特

殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础,还因为由它的定义知它

可以分解为一些全等的三角形,并且包含着有关平行线的许多性质,因此,

它在几何图形的研究上有着广泛的应用．

由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

(1)平行四边形对角相等;

(2)平行四边形对边相等;

(3)平行四边形对角线互相平分．

除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法：

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

例1如图2-32所示．在ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM．求证：EF

与MN互相平分．

分析只要证明ENFM是平行四边形即可,由已知,提供的等量要素很多,可

从全等三角形下手．

证因为ABCD是平行四边形,所以

ADBC,ABCD,∠B=∠D．

又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,从而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE=DF．又由已知BM=DN,所以

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△BEM≌△DFN(SAS),

ME=NF．①

又因为AF=CE,AM=CN,∠MAF=∠NCE,所以

△MAF≌△NCE(SAS),

所以MF=NF．②

由①,②,四边形ENFM是平行四边形,从而对角线EF与MN互相平分．

例2如图2-33所示．Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分

∠ABC,EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

分析AE与CF分处于不同的位置,必须通过添加辅助线使两者发生联

系．若作GH⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分线,故AG=GH,易知△

ABG≌△HBG．又连接EH,可证△ABE≌△HBE,从而AE=HE．这样,将AE转

移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形,问题即可获解．

证作GH⊥BC于H,连接EH．因为BG是∠ABH的平分线,GA⊥BA,所以

GA=GH,从而

△ABG≌△HBG(AAS),

所以AB=HB．①

在△ABE及△HBE中,

∠ABE=∠CBE,BE=BE,

所以△ABE≌△HBE(SAS),

所以AE=EH,∠BEA=∠BEH．

下面证明四边形EHCF是平行四边形．

因为AD∥GH,所以

∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH,等角的补角相等),∠AGB=∠BGH(全等

三角形对应角相等),所以

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∠AGB=∠GEH．

从而

EH∥AC(内错角相等,两直线平行)．

由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四边形,所以

FC=EH=AE．

说明本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌

生的(角平分线上的点到角的两边距离相等),从而构造出全等三角形ABG

与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE,完成了AE的位置到HE位置的过

渡．这样,证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．

人们在学习中,经过刻苦钻研,形成有用的经验,这对我们探索新的问

题是十分有益的．