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高级中学名校试卷
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北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.等比数列,,,,的项数为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗,,,,的项数为,
故选:C
2.由数字,,,构成的三位数有()
A.个 B.个
C.个 D.个
〖答案〗A
〖解析〗百位有4种选择,十位有4种选择,个位有4种选择,故构成的三位数共有个,
故选:A
3.在等差数列中,,则()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗由可得,
故,
故选:D
4.在的展开式中二项式系数最大的项是()
A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项
〖答案〗D
〖解析〗二项式展开式中第项的二项式系数为
所以题中二项式展开式第项的二项式系数为
时,;时,;时,;
时,;时,;
时,;时,.
所以时二项式系数最大,即第四项的二次项系数最大,〖答案〗D正确.
故选:D.
5.随机抛掷一颗均匀的骰子,则所得骰子朝上的点数的数学期望是()
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗抛掷骰子所得点数的分布列为
1
2
3
4
5
6
所以,
故选:.
6.盒子里有5个球,其中有2个白球和3个红球,每次从中抽出1个球,抽出的球不再放回,则在第1次抽到白球的条件下,第2次抽到红球的概率为()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗设第1次抽到白球为事件A,第2次抽到红球为事件B,
则,,
则在第1次抽到白球的条件下,第2次抽到红球的概率为.
故选:D
7.若,且,则实数值为()
A. B. C.或 D.或
〖答案〗C
〖解析〗取,
则,
取,则,
因此,
解得或,
故选:C
8.设随机变量的分布列为
则的值为()
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由分布列可得,
所以.
故选:B.
9.设是等差数列,且公差不为零,其前项和为.则“,”是“为递增数列”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
〖答案〗A
〖解析〗是等差数列,且公差不为零,其前项和为,
充分性:,则对任意的恒成立,则,
,若,则数列为单调递减数列,则必存在,使得当时,,则,不合乎题意;
若,由且数列为单调递增数列,则对任意的,,合乎题意.
所以,“,”“为递增数列”;
必要性:设,当时,,此时,,但数列是递增数列.
所以,“,”“为递增数列”.
因此,“,”是“为递增数列”的充分而不必要条件.
故选:A.
10.已知数列的通项公式.设,,若,则()
A.6 B.7 C.8 D.9
〖答案〗C
〖解析〗由题意知,,
则
,
由得,则,
解得.
故选:C.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.若,则_________.(用数字作答)
〖答案〗
〖解析〗由,得,解得,
所以.故〖答案〗为:20
12.已知随机变量,则=_________,=_________.
〖答案〗①②
〖解析〗由题意可得,
故〖答案〗为:;
13.学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教,设抽取的人中女教师的人数为,则=_________.
〖答案〗
〖解析〗由题意可得,的取值为,
,
,
,
.
故〖答案〗为:.
14.中国民族五声调式音阶各音依次为:宫、商、角、徵、羽,如果用这五个音,排成一个没有重复音的五音音列,且商、角不相邻,徵位于羽的左侧,则可排成的不同音列有_________种.(用数字作答)
〖答案〗
〖解析〗先将宫、徽、羽三个音节进行排序,且徽位于羽的左侧,有,再将商、角插入4个空中,共有种.
故〖答案〗为:36.
15.已知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3;②为等比数列;
③为递减数列;④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
〖答案〗①③④
〖解析〗由题意可知,,,
当时,,可得;
当时,由可得,两式作差可得,
所以,,则,
整理可得,
因为,解得,①对;
假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,
所以,,可得,解得,不合乎题意,
故数列不是等比数列,②错;
当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;
假设对任意的,,则,
所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.
故〖答
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