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高级中学名校试卷
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天津市部分区2023-2024学年高二年级下学期
期中练习数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共9小题,每小题4分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.曲线在处的切线斜率为()
A. B. C. D.5
〖答案〗C
〖解析〗,当时,,所以曲线在处的切线斜率为.
故选:C
2.用这个自然数,可以组成没有重复数字三位数的个数为()
A.60 B.90 C.180 D.210
〖答案〗C
〖解析〗百位上有共种选择,十位、个位共有种选择,
故共有个.
故选:C.
3.函数的单调递增区间为()
A. B.
C. D.
〖答案〗B
〖解析〗定义域为,,令得,即,
所以增区间为.
故选:B
4.的展开式中的系数为()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗的展开式中,的系数分别为,所以的展开式中的系数为.
故选:D.
5.已知函数,其导函数的图象如图所示,则对于的描述正确的是()
A.在区间上单调递减
B.当时取得最大值
C.在区间上单调递减
D.当时取得最小值
〖答案〗C
〖解析〗由图可知,时,,为增函数;
时,,为减函数;当时,有极大值,不一定为最大值;
时,,为增函数;当时,有极小值,不一定为最小值;
时,,为减函数;
综上可得只有C正确.
故选:C
6.甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
〖答案〗B
〖解析〗相同那一本有5种可能选法,不同的一本有种可能选法,
故共有种选法.
故选:B.
7.已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为()
A. B.
C. D.
〖答案〗A
〖解析〗因为函数,则,
因为在上为单调递增函数,故在上恒成立,
所以,即,经检验,当也符合.
故选:A.
8.函数在区间上的最大值为()
A.-1 B.1 C. D.
〖答案〗C
〖解析〗,
则当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
故.
故选:C.
9.若对任意的,不等式恒成立,则实数m的取值范围是()
A. B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗设,不等式,变形为,
设函数,则函数在区间单调递减,
由,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以.
故选:D
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
10.设函数,为其导函数,则______.
〖答案〗2e
〖解析〗由可知,,所以.故〖答案〗为:
11.______.
〖答案〗
〖解析〗.故〖答案〗为:.
12.在1,2,3,,500中,被5除余3的数共有______个.
〖答案〗100
〖解析〗被5除余3的数是,
则其是首项为3,公差为5的等差数列通项公式,
则,,,
且该数列为递增数列,
∴在个数字中,有100个数被5除余3,故〖答案〗为:100.
13.在的展开式中,的系数为___________;
〖答案〗
〖解析〗由二项展开式的通项公式得
,其中令,即,
故展开式中的系数为.故〖答案〗为:.
14.如图,现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,共有______种不同的着色方法.(用数字作答)
〖答案〗48
〖解析〗按照分步计数原理,第1块有4种方法,第2块有3种方法,第3块有2种,第4块有2种方法,所以共有种涂色方法.
故〖答案〗为:48
15.已知函数,当时,有极大值,则a的取值范围为______.
〖答案〗
〖解析〗,
令,得或,且是开口向上的二次函数,
因为当时,有极大值,所以,解得.
故〖答案〗为:
三、解答题:本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的极值.
解:(1)函数的定义域为,导函数,
令,解得,
则,随的变化情况如下表:
2
0
0
取极大值
取极小值
故函数的单调增区间为和,单调减区间为;
(2)由小问1知,当时,函数取得极大值16;
当时,函数取得极小值.
17.班上每个小组有12名同学,现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.
(1)每个小组有多少种选法?
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补,那么每个小组有多少种选法?
(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手,那么每个小组有多少种选法?
解:(1)由题意可得每个小
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