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03.行列式的展开法则一、按一行(列)展开法则
定义3.1 (i, j)元素或(i, j)位置的余子式M
、代数余子式A
ij ij
?(?1)i?jM
ij
例3.1 |a
ij
|?aM
3 11 11
a M
12 12
aM
13 13
?a A
1111
a A
12 12
a A .
13 13
?定理3.1 1)按一行展开法则
?
|A|?aA
i1 i1
a A
i2 i2
?a A
in in
(i?1,2,?,n)；
2)按一列展开法则
|A|?a A
1j 1j
a A
2j 2j
?a A
?nj nj
?
(j?1,2,?,n).
按第一行的展开公式就是n阶行列式(n?2)的降阶定义.
例3.2 计算下列n阶行列式
1 ?1 a ?1
x y
x ?
；2)
1 ?1
?
1
a
2
? ；3)D ? ?
x ?1
? ? .
y
解 1)按c
? y
x 1
展开得
2 ? n
1 ?1
?1 n
n
a
n?1
a
n
x ?1
x
1
原式?xA
11
yA
n1
?xxn?1?y(?1)n?1yn?1?xn?(?1)n?1yn.
c
原式n
c?c
1 2
???c
n?1(1?2???n)A
?n(n?1).
按c展开
n
nn 2
法1 按r
1
展开得
D(a,a,?,a)?axn?1?D
(a,?,a)
n 1 2 n 1
n?1 2 n
?axn?1?a
xn?2?D
(a,?,a
)??
1 2 n?2 3 n? ?
?axn?1?axn?2???a x?a. D(a)?a
1 2 n?1 n
1 n n
法2 在D
n
中，元素a(2?i?n?1)的余子式为
?1
?1
x ?1
? ?
x ?1
x ?1
? ?
x ?1
x
M ? ?(?1)i?1xn?i.
i1
将D按c
n 1
展开得
D ??n
n
r?xr
r?xr
i i?1
i?n,n?1,?,2
a(?1)i?1M
i i1
?axn?1?a
1 2
xn?2???a
a
1
ax?a
n?1
x?a.
n
?1
0 ?1
法3 D
n
1 2
? ? ?
?axn?2? ?a
?
1
n?2
x?a
n?1
0 ?1
axn?1?a
1 2
xn?2???a
n?1
x?a 0
n
６
?axn?1?a
xn?2???a
x?a. ?A
?(?1)n?1M
??(?1)n?1(?1)n?1?1
?
1
法4 按r
n
2
展开得
n?1 n n1 n1
D ?aA
n n n1
xA
nn
?a?xD
n n?1
?a?a
n n?1
x?xD ?
?n?2
?
?axn?1?axn?2???a x?a.
1 2 n?1 n
定理3.2 当i?j时，
aA
i1 j1
aA
a A
i2 j2
a A
?a A
?in jn
?
???a A
?0；
?0.
1i 1j
注 aA
i1 j1
aA
1i 1j
2i 2j
a A
i2 j2
a A
2i 2j
ni nj
??a A
?
in jn
??a A
?
ni nj
?? |A|，
ij
?? |A|，
ij
其中
?0,当i?j? ??1,
?0,当i?j
ij ?
为克罗内克(Kronecker)符号.
例3.3 1)二元(实)函数
??1,当x?y;f(x,y)??0,当x?y.
?
显然 f(x,y)?? .
xy
2)diag(1,1,?,1)?[?
] .
ijn?n
例3.4 设四阶行列式D?
1 2 1 2
2 1 1 2
.
2 0 2 1
1 2 3 4
求代数余子式A ；
12
求A
11
A ?2A
21 31
?3A ；
41
求A ?A
41 42
A ?A .
43 44
行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证.
做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号
以降阶定义为
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