因式分解分组法.docx

因 式 分 解

分组分解法：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。

分组分解法应用较为灵活，通常一个多项式分组方法不只一种，但分组时要有预见性，可按以下步骤来完成：

1、按有公因式或可运用公式的原则合理分组；

2、组内提公因式或运用公式；

3、组间提公因式或运用公式。

例1选择题：对2m?mp?np?2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）

（A）(2m?2n?np)?mp

（C）(2m?2n)?(mp?np)

（B）(2m?np)?(2n?mp)

(2m?2n?mp)?np

说明 本组题目用来判断分组是否适当.

例2 因式分解：

（1）a2x?a2y?b2x?b2y； （2）mx?mx2?n?nx

说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；

分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；

分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号；

实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解的目的。

例3 分解因式：

（1）1?x2

?4xy?4y2； （2）x2

?a2

?2ab?b2； ⑶a2

?4b2

?a?2b

说明 把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。

例4 分解因式：ax3

ax2

ax?a

说明：有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则。

例5 分解因式：

⑴ 5x3

?15x2

?x?3 ⑵ 7x2

?3y?xy?21x

说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。

例6 把下列各式分解因式：

xy?xz?y2?2yz?z2；

（2）a2?b2?c2?2bc?2a?1；

（3）x2?4xy?4y2?2x?4y?1.

说明 对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.

例7 分解因式：

（1）x(x?1)(x?2)?6； （2）ab(x2?1)?x(a2?b2)

说明本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。

例8 分解因式：

⑴ p2?5pq?6q2?p?3q； ⑵ a2?4b2?a?2b?4bc?c2?c.

说明 项数多时，要仔细观察项与项之间有着内在联系，通过巧妙分组以求突破.

例9

分解因式：

⑴ a2

?5a?6；

⑵

m2

?3m?10

. ⑶

x2

?x?2；

⑷

x2

?2x?15

.

说明 本题属于x2?(p?q)x?pq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.

例10 分解因式：

（1）(a?b)2

?5(a?b)?4；

p2

?7pq?12q2.

例11

求证：对于任意自然数n，3n?2?2n?3?3n

2n?1一定是10的倍数.

说明 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.

※例12分解因式：a3

说明： 添项拆项法

?7a?6