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隐圆问题汇编
1.阿波罗尼斯圆
1.已知椭圆的左、右焦点分别为,长轴,短轴,动点满意,若面积的最大值为,面积的最小值为,则该椭圆的离心率为(???????)
A. B. C. D.
解析:由题意知:,,,,
设,则,
整理可得:,即点轨迹是以为圆心,为半径的圆,
,,
,,
即,,,
离心率.
故选:C.
2.直径所对圆周角
3.已知直线过定点,直线过定点,与的交点为,则面积的最大值为(???????)
A. B.
C.5 D.10
解析:由直线的方程是得直线过定点,同理直线方程为,即,所以定点,
又,所以,即在以为直径的圆上,
,由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径,即,所以面积的最大值为.故选:C.
4.已知A,B为圆上的两个动点,P为弦的中点,若,则点P的轨迹方程为()
A. B.
C. D.
解析:圆即,半径,因为,所以
又是的中点,所以,所以点的轨迹方程为,故选:B
4.已知直线l与圆交于A,B两点,点满意,若AB的中点为M,则的最大值为(???????)
A. B. C. D.
解析:设,中点,则,,
又,,则,
所以,
又,则,而,,
所以,即,
综上,,整理得,即为M的轨迹方程,
所以在圆心为,半径为的圆上,则.
故选:A.
5.(2017年南京、盐城一模)在?ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
a2?b2?2c2?8,则?ABC面积的最大值为 .
6.已知两点,.若动点M满意,则“”是“动点M的轨迹是圆”的(???????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:两点,,设,
由,可得,整理得,
当时,,故点为定点,不是圆,所以充分性不成立,
当动点的轨迹是圆,则,故必要性成立,
所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.
故选:B
3.向量隐圆
1.(2024年浙江高考)已知、、是平面对量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满意,则的最小值是()
A. B. C.2 D.
解析:设,
则由得,
由得
因此,的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.
2.若平面对量,,满意,,,,则的最大值为()
A. B. C. D.
解析:由题意可得:
,
,
即
故选:A.
3.已知非零平面对量,,.满意,,且,则的最小值是()
A. B. C.2 D.3
如图1:
令,,,不妨设
取中点,由,可得,由极化恒等式得;
要求的最小值,即最小时取到;明显,此时,,三点共线,如图2:
设此时,因为
由余弦定理可知:
所以,即.
故选:A.
4.已知平面对量,的夹角为,且对随意实数,恒成立,则
A. B. C. D.
解析:由题意,对随意实数,恒成立故
即
即
即,对随意实数成立
故选:B
5.设为两个非零向量的夹角,已知对随意实数t,的最小值为1,则()
A.若确定,则唯一确定 B.若确定,则唯一确定
C.若确定,则唯一确定 D.若确定,则唯一确定
解析:,令,因为,
所以当时,,又的最小值为1,
所以的最小值也为1,即,,
所以,所以,故若确定,则唯一确定.
故选:B
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