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第九讲:平面几何1

第九讲:平面几何

杨老师专论

课程标准的实施使得公理化典范的平面几何再次进入高中数学,选修4-1中的平面几何包括:相似三角形(平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、直角三角的射影定理),直线与圆(圆周角定理、圆内接四边形的判定和性质、弦切角定理、切线的判定和性质、相交弦定理和切割线定理);平面几何是竞赛数学的主要内容.自主招生中的平面几何问题有如下两个突出的特点:方法的多样性和几何量的度量问题.

Ⅰ.知识拓展

1.圆幂定理:①相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;②切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;③割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等;圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理统一归纳的结果,圆幂定理:过点P任作直线交半径为r的定圆O于两点A、B,那么PAPB为定值|OP2-r2|(这个值称为点P到圆O的幂).

2.托勒密(Ptolemy)定理:①托勒密定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和;②托勒密定理的逆定理:凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,那么这个凸四边形内接于一圆;③广义托勒密定理:凸四边形两对对边乘积的和不小于两条对角线的乘积,当且仅当四边形共圆时等号成立.

3.梅涅劳斯(Menelaus)定理:①梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R那么=1;②梅涅劳斯定理的逆定理:设P、Q、R分别为△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点,假设=1,那么P、Q、R三点共线;③梅涅劳斯定理的应用定理:设△ABC的∠A的外角平分线交边BC于P,∠B的平分线交边CA于Q,∠C的平分线交边AB于R,那么P、Q、R三点共线;过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,那么P、Q、R三点共线.

4.塞瓦(Ceva)定理:①塞瓦定理:设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点,那么AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是eq\f(AZ,ZB)eq\f(BX,XC)eq\f(CY,YA)=1;②塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,那么AS一定过边BC的中点M;③塞瓦定理的逆定理的应用定理:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点;设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,那么AR、BS、CT交于一点.

5.西摩松(Simson)定理:①西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,那么D、E、R共线(这条直线叫西摩松线);②西摩松定理的逆定理:从点P向△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,假设D、E、R三点共线,那么点P在△ABC的外接圆上;③西摩松线的定理(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点.

6.费马(Fermat)点:①费马点:在三角形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点;②费马点定理:三角形每一内角都小于1200时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是1200,该点为“费马点”;当三角形有一内角不小于1200时,此角的顶点即为“费马点”;③费马定理:等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.

Ⅱ.归类分析

1.综合法:

2第九讲:平面几何

[例1]:(2012年“北约”自主招生试题)求证:假设圆内接五边形的每个角都相等,那么它为正五边形.

[解析]:

[练习1]:

1.①(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)如图:P

△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,G

l交AB于E,交⊙O于G,F,交⊙O在A点处的切线于P,A

假设PE=3,ED=2,EF=3,那么PA的长为()E

(A)