2024_2025学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练第4讲简单几何体的表面积和体积含解析.docxVIP

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第4讲高一数学学科素养实力竞赛专题训练——简洁几何体的表面积和体积

【题型书目】

模块一：易错试题精选

模块二：培优试题精选

模块三：名校全国竞赛试题精选

【典型例题】

模块一：易错试题精选

1．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，依据勾股定理得到，计算表面积得到答案.

【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，

是中点，连接，如图所示：

，，则，四边形为矩形，

，，故，.

故选：C

2．如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先确定球心的大致位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.

【详解】因为，，所以的外接圆的圆心为的中点,且，

取的中点，连接，则，所以平面；

设三棱锥的外接球的球心为，则在上，

设，，球半径为，

因为，所以，所以，

因为，所以，因为，所以，

即外接球半径的最大值为，

所以三棱锥的外接球的体积的最大值为.

故选：C.

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：

（1）棱长为的正方体的外接球半径为；

（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；

（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.

3．已知三棱锥P－ABC的全部顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】设底面的中心为Q，依据题意可知，当三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，底面ABC，求出体积的最大值，再利用等体积法求出内切球的半径即可.

【详解】设底面的中心为Q，连接BQ，OQ，

则，且底面ABC，

如图，延长QO交球面于点P，连接OB，此时三棱锥P－ABC的体积取得最大值，

因为球O的半径为2，所以，

在中，，

所以三棱锥P－ABC的体积的最大值为，

此时，

所以，

所以，解得．

故选：B.

4．正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，全部顶点在同一球面上，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积.

【详解】

如图所示，，，

为外接球球心，设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心，

则，

由勾股定理得：，，

设，则，，

故，解得：，

故，

故球的表面积为.

故选:B

5．如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取AD的中点O，连接OB，OC，OP，依据已知得出四边形OABC为平行四边形，，即可得出，则四棱锥外接球的球心为O，半径为2，即可依据球的表面积计算得出答案.

【详解】取AD的中点O，连接OB，OC，OP.

因为，，

所以.

又，即，

所以四边形OABC为平行四边形，

所以，同理可得.

因为，且P为侧棱SA的中点，

所以，

所以在中，.（点拨：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）

所以，

所以四棱锥外接球的球心为O，半径为2，

故外接球的表面积为，

故选：B.

6．《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.

【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.取BC的中点G，连接FG，作，垂足为H，如图所示，

由题意得，，，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，

∴这个羡除的外接球体积为.

∵，面，面，

∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，

又∵，

∴，

∴这个羡除的体积为，

∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.

故选：A.

7．如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器随意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】找到水最多和水最少的临界