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浅谈化归与转化思想专题复习——以数列问题为例

转化和化归思想是解答数学问题中常用的思想方法,它不仅仅是一种常用的数学思想和数学方法，还体现了一种数学的能力。在数学学习的过程中处处都体现着转化和化归思想。转化，简单的理解就是把一个问题变成了另一个问题。转化是数学中最常用的思想，转化的本质在于使问题简单化，明朗化。常见的转化有一般与特殊的转化、等价转化、复杂与简单的转化、数与形的转化、构造转化、联想转化、类比转化等。

数列问题一直是高中数学中的核心内容，研究数列的基本手段是运算，变式多样，且常与其他知识点结合起来考察，所以对于基础薄弱的高中学生来说难度较大，出错概率较大，在数列应用上失分现象较为普遍。本节课是以数列问题为例的化归与转化思想专题复习，是数列复习不可缺少的内容。数列递推公式又是近几年高考考查的热点内容之一，因此由数列递推公式求通项公式也显得更加重要。由于数列这部分知识所涉及的概念、公式、性质较多，计算较复杂，导致学生在这部分知识的学习中经常出错。主要问题是逻辑混乱、思维受限制、缺少反思，解题方法没有掌握本质，基于学生的这个学习特征，本节课以化归转化思想为专题进行复习，既可以对学生的数列知识进行一定的梳理建构，又能渗透相关的数学思想与方法，培养“数学抽象和运算”等数学核心素养，追求解决问题的根本大法。本节课从学生的元认知水平出发，采取“问题探究—总结—再探究”的循环类比教学模式，通过三个题组从学生熟悉的地推公式出发，由易到难，问题层层深入。围绕本节课教学的重点和难点，组织学生讨论、发言，实现师师互动、生生互动，使数学教学成为“有思想的教学”。教学过程设计如下：

一、问题引入

问题1：已知数列{an}中，a1=1且点Q（nan+an+1）（n∈N*）在直线x-y+2=0上，则数列{an}的通项公式。

问题2：若把条件“在x-y+2=0上”改为条件“在3x-y=0上”，其他条件不变，则数列{an}的通项公式。

问题3：若把条件“在x-y+2=0上”改为条件“在4x-y+1=0上”，其他条件不变，则数列的通项公式。

设计意图：以题引知，温故而知新，让学生把数列问题转化为简单的等差、等比数列问题进行处理，让学生养成不断回到概念去，是解决数列问题的常见的转化思路。由特殊到一般，由简单到复杂。形如递推公式an+1=qan+p，若q，p其中一个为零，数列{an}是一个等差数列或等比数列；若q，p均不为零，可通过加k法转化为简单的等比数列问题进行处理。这符合学生的认知规律，激发学生探索的热情。让学生全面看待问题，学会合理转化。

二、问题探究

例1.以下递推公式怎么转化？

学生自编题目如下：

构建研究的整体框架，再展开具体研究。学生动脑、独立思考尝试解答，并参与编题，加深学生对此类题型的印象。合理转化，渗透定义法、加K法、倒数法、叠加法、累乘法等。

例2.设Sn是数列{an}的前项和，且an+1=2Sn，a1=-1，求Sn

追问1.若把条件an+1=2Sn改为条件an+1=SnSn+1，其他条件不变，怎么转化？

抛出问题让学生探究，加强比较，让学生感悟与同时出现的时候的转化对象、目标、及转化的方法，在an与Sn同时出现的关系式中，一般通过进行转化，使关系式仅含an或Sn，再根据情况进行处理。

例3.数列{an}满足若数列为公差大于0的等差数列，求的通项公式。

追问1.等差数列{an}的前n项和Sn，若公差d=-2，S3=21，求nSn取得最大值？

尝试让学生体验把数列问题转化为函数问题，引导学生执行数学运算三步曲：理解、选择、运算，注重方法的选择，规范答题的板书，结合课件展示。最值问题是我们这种普通高中学生最为薄弱的题型，学生往往不知道如何下手，从何入题。结合学生实际，我们在平时的教学中，应该逐步渗透并总结出求数列最值问题的方法：（1）转化为函数的单调性；（2）运用递推公式。

课后反思：1.合理精准探究可促进课堂效率的提升。首先，探究活动起点太低，学生会觉得没有探究的必要，不能激发学生探究的兴趣。起点太高，学生无法在已有的知识方法与所要探究的对象之间建立有效的联系，从而失去探究的信心。因此，在本节课探究设计中，笔者从学生熟知的等差等比数列出发，通过类比到an+1=qan+p这类模型，大多数学生能够参与到探究活动中，探究活动的设计符合学生认知的“最近发展区”。其次，教师应成为探究活动的指导者，教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景，教师应引导和帮助而不是代替学生发现和提出问题。在本节课中，教师通过对例1前两道题的讲解，引导学生通过类比转化与化归的思想，自己出题，自己解题。学生的认知水平达到一个新的高度。在整个探究过程中教师起到为学生攀登思维高峰搭建脚手架的角色。

2.激发学生学习动机，培养学生的化归与转化思想。

课堂上教师