因式分解的概念.docx

一、因式分解的意义：

因 式 分 解

因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A．(x?1)(x?1)?x2?1 B．(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m)

C．ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D．m2?2m?3?m(m?2?3)

m

说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，

而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.

例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是（ ）

A．3x2?6xy?x?2y B．3x2?6xy?x?2y

C．x?2y?3x2?6xy D．x?2y?3x2?6xy

二、因式分解的方法类型一、提公因式法

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）

A．x2y?5xy?y?y(x2?5x)

B．a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2

C．x2(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1)

D．2ab2

4ab3

ab?2ab(b2

?2b2

?1)

说明 A式左边是3项，而右边展开后是两项；D式左边无公因式2，只能提取出ab，

而不能提取出2ab；若将B式右端展开，含a2的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正。

例02．把?8x4y?6x3y2

2x3y分解因式的结果为 。

说明要明确提公因式时应注意的事项：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；⑵系数和字母应分别考虑.公因式的系数应取各项系数的最大公约数；⑶字母应取各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例03．分解因式：?3m3

?6m2

?12m

例04．分解因式：?6(x?y)3

说明 ⑴观察题目结构特征

?18(y?x)2

?24(y?x)3.

⑵对于(x?y)与(y?x)的符号有下面的关系：

?x?y??(y?x),

?

?(x?y)2

?

?(x?y)3

?(y?x)2 ,

??(y?x)3

?? ????

例05．解方程：(12x?6)(23x?18)?6(1?2x)(13?23x)?0

?例06．不解方程组?2m?n?3,

?

?4m?3n?1,

求：5n(2m?n)2?2(n?2m)3的值.

说明 本题巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.

针对练习：

1、判断下列几个变形是否为因式分解的结果？

（1）2a2xy?2a2?xy； （2）x4?3x2?1?x2(x2?3)?1；

（3）3mn2?6m2n?mn(3n?6m)；（4）ab?ac?a?a(b?c)

2、确定下列各题中的公因式：

（1）?4a2bc3,12ac2,8ab3； （2）?2a3(m?n),4a2(m?n)

3、把下列各式分解因式：

⑴4ax?6ay?8az； ⑵?12m3n2?8m2n3?2m2n2

⑶m2n(a?b)?2mn(b?a)； ⑷(x?y2)2

?3a(y2

?x)3

⑸3m(a?b)?2n(a?b)； ⑹4a(2p?q)3

?3a2(2p?q)2

?2a3(2p?q)

4、计算：

（1）0.23?3.15?0.91?3.15?0.14?3.15；（2）?