13.4 课题学习 最短路径问题同步练习 2024—2025学年人教版数学八年级上册.docxVIP

13.4课题学习最短路径问题

A层

知识点一最短路径问题

1.已知点A、点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P,使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是()

2.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短,则点P应选在()

A.A点B.B点C.C点D.D点

3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则AP+BP的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

4.如图,某牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500米.

(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短?

(2)最短路程是多少?

5.作图题:线段AC是正方形ABCD的对角线,点M是边CD上的一定点(不与D、C重合),请在对角线AC上找一点P,使得△PDM的周长最小，并作简要说明.

知识点二造桥选址问题

6.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直)()

B层

7.如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD的值最小时,∠PCD的度数是()

A.30°

B.15°

C.20°

D.35°

8.如图,△ABC的面积为16,AB=AC,BC=4,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点E,F.若点D为BC边的中点,点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为.

9.如图，正三角形ABC的边长为6，过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△ABC关于直线l对称,D为线段BC上一动点,则AD+CD的最小值是.

10.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E,F,使四边形PEFQ的周长最小.

11.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.

解法：如图①，作点A关于直线l的对称点A,连接AB,则AB与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为AB.请利用上述模型解决下列问题.

(1)如图②,△ABC中,∠C=90°,E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P,使得PA+PE的值最小;

(2)如图③,∠AOB=30°,M、N分别为OA、OB上一动点,若OP=5,求△PMN的周长的最小值.

解题技巧专题：巧用等腰三角形构造全等三角形解题

◆类型一利用等腰三角形的性质构造全等三角形

1.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,AD=BD,BE⊥AD于点E.求证:BC=2AE.

2.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AB=7,FC=3,求AE的长.

3.已知:如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,DE=DF,∠EDF=90°,D为BC边的中点,连接AF,且A、F、E三点恰好在一条直线上,EF交BC于点H,连接BF,CE.求证:AF=CE.

类型二等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等三角形

4.如图,AC是△ABD的中线,AD是△ABE的中线,BA=BD.求证:AE=2AC.

5.如图,已知AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:BC=AB+CD.

6.如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC边于D.

(1)求证:PD=DQ;

(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.

类型三在直角坐标系中利用等腰三角形构造全等三角形求点的坐标

7.如图,在△ABC中,AB=BC,AB⊥BC,B(0,2),C(2,-2),求点A的坐标.

8.已知A(-10,0),以OA为边在第二象限作等边△AOB.

(1)求点B的横坐标;

(2)如图,点M、N分别为OB、OA边上的动点,以MN为边在