第七章实数完备性习题课.doc

第七章实数完备性习题课

一表达概念和定理

1表达实数完备性定理

1〕．确界原理：设为非空数集，假设有上界，那么必有上确界；假设有下界，那么必

有下确界．

推论有界数集必有上下确界．

2〕．单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．

注递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．

3〕．区间套定理：假设是一个区间套，那么在实数系中存在唯一的一点，使得

4〕．有限覆盖定理：设闭区间的一个〔无限〕开覆盖，那么从中可选出有限

个开区间来覆盖．

5〕．聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点．

注〔致密性定理〕有界数列必有收敛子列．

6〕．柯西收敛准那么：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在，使得

对有．

注1〕单调有界定理与柯西收敛准那么通常用于判断数列的收敛性．

2〕确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点．

在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数〔最大的下界或最小的上界〕，要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理．

3〕区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质．

在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质的点．

〔注：此性质是所找点的本质属性〕

4〕有限覆盖定理主要用于把局部性质扩展为整体性质．

在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们在闭区间的每一点的某个邻域内都具有性质，任一点的邻域所成之集覆盖，为了将性质扩充到整个闭区间，这时用有限覆盖定理能将覆盖的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．

5〕聚点定理〔致密性定理〕一般是将数列过渡到子列．

首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列．

2．表达为点集聚点的定义：

1〕设为数轴上的点集，为定点〔它可以属于，也可以不属于〕．假设的任何邻域内都含有中无穷多个点，那么称为点集的一个聚点．

2)对于点集，假设点的任何邻域内都含有中异于的点，即，那么称为的一个聚点．

3)假设存在各项互异的收敛数列，那么其极限称为的一个聚点．

3．表达不是点集聚点的定义：

设是数集，不是的聚点存在，在中至多包含中有限多个点．

二疑难问题考前须知

1．区间套定理如果把闭区间改成开区间，结果成立吗？

答：不一定，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但只有数0可以作为，但0不属于该区间．

注对于开区间列有以下结果：

设是一个严格开区间套，即满足

，

且．那么存在唯一的一点，使得

2．假设，但，此时应有什么结论呢？

答：由知递增有上界，依单调有界定理知，有极限，且有．同理，递减有下界的数列也有极限，且，又因为，由极限保不等式性与知，那么对任意的，只要，就有属于所有的闭区间．

3．点集的聚点一定属于吗？

答：不一定，点集的聚点可以属于，也可以不属于，例如假设为开区间，那么内每一点以及端点都是的聚点，但不属于．

4．设是有界数集，那么，是的聚点吗？

答：一般情况下，当时，它可能不是数集的聚点，例如，，但它不是聚点．

当时，由36页的结论存在严格递增数列，使得，依据聚点的等价定义，可知是的聚点．

5．在有限覆盖定理中当改为，结论还成立吗？

答：不一定成立，例如，开区间集合构成了开区间的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住．

1〕分析，要使，只要，即需要，当充分大时是成立．

证，当充分大时〔时〕，就有，即．

2〕反证法，设中能选出有限个开区间〔对应有限个〕盖住，在这有限个中选取最大的为，这些有限区间都含在中，那么中能覆盖，矛盾．

6．假设函数在上连续，能保证在上有界吗？

答：函数在上连续在上有界．

反例：在连续，但在上无界．

注函数在上连续，，存在在上有界．

注函数在上连续在上有最大值最小值．

7．试总结确界定理的应用．

答 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点．

在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数〔最大的下界或最小的上界〕，要使用确界定理．

构造适宜的点集，使得确实界即为需证命题中的数．

(1)证明根的存在定理：在上连续，，，假设定义

，那么有．

(2)证明有界性定理：设

，

假设证得即得在上有界．

8．试总结区间套定理的应用．

答应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰