2025届高三数学二轮专题复习函数的单调性奇偶性讲义.docxVIP

函数的单调性

1.增函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I；

假如?x1，x2?D，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。

特殊的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。

2.减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I；

假如?x1，x2?D，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。

特殊的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。

3.函数单调性性质

增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数-增函数=减函数

注：当一个函数有多个单调区间时，不能用∪符号，应当用“和”或“，”连接。

函数的奇偶性

推断奇偶性前提：“定义域关于原点对称”

偶函数

奇函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如?x?I，都有x?I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，设函数f(x)的定义域为I，假如?x?I，都有x?I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

定义域

关于原点对称

图象

特征

关于y轴

轴对称

函数奇偶性推断方法：

1.推断定义域是否关于原点对称

2.已知，计算、

3.推断与是否相等、与是否相等

4.若，则为偶函数

若，则为奇函数

若，，则为非奇非偶函数

若，，则为即奇又偶函数

函数奇偶性性质

奇函数性质：，，若定义域内包括0，则，奇函数图像关于原点对称。奇函数在定义域内单调性相同。

偶函数性质：，偶函数图像关于y轴对称，偶函数在关于原点对称区间单调性相反。

奇函数+奇函数=奇函数

偶函数+偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

函数周期性

常用的周期性结论

若，则的周期是

若，则的周期是

若，则的周期是

若，则的周期是

关于原点

中心对称

函数对称性

常用的对称性结论

关于y轴对称

关于原点对称

或关于直线x=a对称

或关于(a,0)对称

关于直线对称

关于点对称

习题

1.已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．

(1)比较f(a2+2)与f(2a)的大小；

(2)若f(a2)f(a+6)，求实数a的取值范围．

2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2，+∞)是增函数，求m及f(1)的取值范围．

3.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上单调，则()．

A．a?(-∞，1]B．a?[2，+∞)C．a?[1，2]D．a?(-∞，1]?[2，+∞)

4.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最大值和最小值．

5.设a0，函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，则f(1)，f()，f()之间的大小关系是（）

A．f(1)f()f() B．f()f()f(1)

C．f(1)f()f() D．f()f()f(1)

6.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________．

7.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝eq\f(1,2)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()

A．0 B．1C．eq\f(5,2) D．5

8.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=________，b=________；

9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x0时，f(x)＝________．

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+3x-1，求f(x)的解析式．

11.已知偶函数f(x)的定义域是R，当x≤0时f(x)=x2-3x-1，求f(x)的解析式．

12.已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数，则m的值是()

A．1B．2C．3D．4

13.设函数f(x)=ax3+2bx-1，且f(-1)=3，则f(1)等于（）

A．-3B．3C．-5D．5

14.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)-f(-x)，在R上肯定是()

A．奇函数