2025届新高考数学专题复习专题38数列中的通项公式学生版.docxVIP

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专题38数列中的通项公式

一、题型选讲

题型一、由的关系求通项公式

例1、（2024届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满意，且.

求数列的通项公式；

例2、（2024届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满意成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

（1）；

例3、（2024届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；

题型二、由的递推关系求通项公式

例3、【2024年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满意a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

例4、（2024届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（）

A． B．

C． D．

例5、【2024年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满意其中．

（i）求数列的通项公式；

题型三、新定义题型中通项公式的求法

例6、【2024年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．

（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

例7、【2024年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1i2…im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的随意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若pq，求证：；

（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且随意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

二、达标训练

1、（2024届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满意：)若正整数使得成立，则（）

A．16 B．17 C．18 D．19

2、（2024届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．求和的通项公式；

3、（2024届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满意：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

4、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对随意，它的前项和满意，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；

5、（2024届山东师范高校附中高三月考）设等差数列前项和为，满意，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满意，求数列的通项公式

6、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；

7、【2024年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满意：对每个成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

8、【2024年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满意：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满意:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；