重庆市九龙坡区2024届高三下学期第三次学业质量抽测考试（5月）数学试卷（含答案解析）.docx

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重庆市九龙坡区2024届高三下学期第三次学业质量抽测考试（5月）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则满足的集合共有（????）

A．1个 B．3个 C．4个 D．8个

2．设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（????）

A． B． C． D．2

3．已知，，，则向量的夹角为（????）

A． B． C． D．

4．已知函数，则“”是“的图象在区间上只有一个极值点”的（????）

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

5．用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（????）

A． B． C． D．

6．正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（????）

（参考数据：，，）

A．10 B．9 C．8 D．7

7．若方程在的解为，则（????）

A． B． C． D．

8．已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（????）

A．数据，，的平均数为6

B．数据，，的方差为9

C．数据的方差为1

D．数据的平均数为5

10．在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（????）

A．直线平面

B．直线与平面所成角的正切值为

C．三棱锥的体积为

D．三棱锥的外接球表面积为

11．已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

三、填空题

12．展开式中的常数项为.

13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则；的最大值为.

14．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为.

四、解答题

15．已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求使取得最大值时的值.

16．如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值.

17．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两个对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者获得第三名：最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立.

(1)若，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签决定两两对阵，两场比赛的胜者晋级到冠军决赛，败者参加三、四名比赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

18．已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

19．已知函数，.

(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；

(2)当时，若，且，求证：；

(3)求证：对任意，都有.

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参考答案：

1．C

【分析】解不等式可得，可求的个数.

【详解】由，可得，

所以，

所以中一定有，可能有，

故的个数