全等三角形压轴题及其详解.pdfVIP

全等三角形压轴题及其详解

全等三角形压轴题

1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转

60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=

∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=

∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；

（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，

得出方程30°﹣α=15°，求出即可．

【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，

∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，

即∠ABD=30°﹣α；

（2）△ABE是等边三角形，

证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，

则BC=BD，∠DBC=60°，

第1页（共40页）

全等三角形压轴题及其详解

∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，

在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，

∵∠BCE=150°，

∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，

在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC（AAS），

∴AB=BE，

∴△ABE是等边三角形；

（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，

∴∠DCE=150°﹣60°=90°，

∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DC=CE=BC，

∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，

∵∠EBC=30°﹣α=15°，

∴α=30°．

第2页（共40页）

全等三角形压轴题及其详解

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰

直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，

AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形

外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

第3页（共40页）

全等三角形压轴题及其详解

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，