高等数学（大农类）3.1中值定理.pptVIP

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理第三章定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.1、函数极值的定义1、函数极值的定义2、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕推论1:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在I上为常数.机动目录上页下页返回结束例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上机动目录上页下页返回结束推论2:若函数证:设对于任意的则其中c为常数，即：则：由推论1可得：得证。其中c为常数。例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个?不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值机动目录上页下页返回结束2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页返回结束3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束****运行时,点击“费马引理”可显示费马简介.运行时,点击“二.拉格朗日中值定理”,或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。运行时,点击标题“三、柯西----”或“柯西”按钮,或相片,可显示柯西简介,并自动返回.