中考数学压轴题练习正方形问题.docx

如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，

N K

A B E

G F

正方形DMNK的边长为y． P

求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； M D C

当△NPF的面积为32时，求x的值；

以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．

解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD

∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK

∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF

NK KA y y－6

∴△KNA∽△EAF，∴EA ＝EF ，即x＋6 ＝ x

∴y＝x＋6（0＜x≤6）

由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF

FP AF

∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴PM ＝AN ＝1

∴FP＝PM，∴S ＝S ＝32

△MNP △NPF

∴S ＝2S ＝64

正方形DMNK △MNP

∴y＝8，∴x＝2

连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD

y y y

易知：AP＝2 ，AH＝x，PH＝2 －x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝2 ＋x

①当两圆外切时

y y

在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(2 －x)2＋62＝(2 ＋x)2

3解得：x＝－3－3 3（舍去）或x＝－3＋3

3

②当两圆内切时

y y

在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(2 －x)2＋62＝(2 －x)2

方程无解

所以，当x＝3 3－3时，两圆相切

已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF

＝45°，连接EF．

如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；

设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以

BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；

如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．

FDGC

F

D

G

C

E

D

F

E

C

A 2

1

F

F′ B E C

B

图1 图1

图2

解析：

猜想：EF＝BE＋DF

证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1）

∵AF′＝AF

∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE

∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF

在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2

∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y

∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2

1－x

∴y＝1＋x（0＜x＜1）

①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF＝BE＋DF，故此时⊙E与⊙F外切；

②当点E在点C时，DF＝0，⊙F不存在.

③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2）则AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90°

∴∠F′AE＝∠EAF＝45°

又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE

∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF

∴此时⊙E与⊙F内切

综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切

△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可 F

此时CE＝CF

设BE＝x，DF＝y，由（3）知EF＝x－y

在Rt△CFE中，CE2＋CF2＝EF2

∴(x－1)2＋(1＋y)2＝(x－y)2

2 D

1

G

x－1

∴y＝x＋1（x＞1）

x－1

F′ C E

图2

由CE＝CF，得x－1＝1＋y，即x－1＝1＋x＋1

2化简得x2－2x－1＝0，解得x1＝1－ 2（舍去），x2＝1＋

2

2∴△EGF与△EFA能够相似，此时BE的长为1＋

2