2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第09讲 工具篇（借助隐零点，洛必达法则，中值定理，泰勒展开式，二次导等工具解决导数问题）（解析版）.docxVIP

第09讲工具篇（借助隐零点，洛必达法则，中值定理，泰勒展开式，二次导等工具解决导数问题）

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：题型篇 1

题型一：借助隐零点解决导数问题 1

题型二：借助洛必达法则解决导数问题 10

题型三：借助泰勒展开式解决导数问题 16

题型四：通过二次求导解决导数问题 28

第一部分：题型篇

题型一：借助隐零点解决导数问题

典型例题

例题1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是

(2).

【详解】（1），，

，恒成立，

所以在递增.

所以当，；

，

所以函数的单调减区间是，单调增区间是.

（2），

①当时，由（1）知有且只有一个零点.

②当时，，则在区间上单调递减，

所以至多有一个零点.

③当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以，

所以无零点.

④令，当时，，

所以在区间上单调递减，

所以，有，

所以，则.

当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以.

令.

，

又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，

所以有且只有2个零点.

综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.

例题2．（2023·新疆·统考二模）已知.

(1)当时，求的最小值；

(2)当时，有恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【详解】（1）由题意知，，

所以，

易见在上递增，且，

所以当时，，即，在上单调递减，

当时，，即，在上单调递增，

故，所以的最小值为0.

（2）由已知在上恒成立，

即在上恒成立，

也即在上恒成立.

令，，

所以，

令，则是上的增函数，

又因为，，

所以在区间上存在唯一的零点，即，

由得，

又由函数在区间上单调递增，上式等价于

所以，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以.

例题3．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知函数在处的切线方程为.

(1)求实数，的值；

(2)当时，恒成立，求正整数的最大值.

【答案】(1)，

(2)3

【详解】（1）定义域为，.

由题意知，

解得，.

（2）由题意有恒成立，即恒成立

设，，.

当时，，

令，其中，则

所以函数在上单调递增

因为，，所以存在唯一，

使得，即，可得.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增.

，

，由对勾函数性质知函数在递减，

，.

当时，不等式对任意恒成立，

正整数m的最大值是3.

精练核心考点

1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知函数.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，且，求证：且.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）解法一：当时，由，且时，故成立；

当时，即为.

由，令，得，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，

所以，即.

综上，.

解法二：，由，且时，所以.

设，则，令，得，

当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即.

（2）解法一：，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，故.

先证，由，故即证，

由，故即证，

设，

则，

所以在上单调递减，所以.

所以，从而.

现证，即证.

设，故即证，即证.

设，

则，设，则，

当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又，

所以，使得，

故在单调递增，在单调递减，

又，

所以，即，故.

解法二：证明的方法同解法一.

，，

则在处的切线方程为，下面证.

设，

，

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，使得，

故在单调递减，在单调递增，

又，

故，即，所以.

2．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数.

(1)求的单调区间和极大值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围

【答案】(1)的单调增区间为和，单调减区间为；

(2)

【详解】（1），

由可得：或；由可得，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以的单调增区间为和，单调减区间为.

所以，在时取极大值.

（2）恒成立等价于恒成立.

因为，所以.

令，则.

令，则，

所以在上单调递增，

又，，

所以，使得，即.

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以

由可得，

而在上单调递增，所以，即，

所以，所以

3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，.

(1)若函数是增函数，求的取值范围；

(2)已知、为函数（为函数的导函数）图象上任意的两点，设直线的斜率为，证明：.