高等数学 无穷小和无穷大.pptVIP

*无穷小的比较*无穷小与无穷大三、无穷大(量)如果函数当(或)时，对应的函数值的绝对值无限增大,那么称函数为当(或)时的无穷大.如,是无穷大;是无穷大.1.定义*用数学语言刻划上面两句话？无穷小与无穷大*逻辑定义记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．定义无穷小与无穷大*(1)无穷大是变量,不能与很大的数（常量）混淆;无穷大一定是无界函数,反之不然。注(3)无穷大是相对于某一变化过程而言的。(4)无穷大与无界函数的区别:无穷小与无穷大如数列{1,0,2,0,…,n,0,…}是无界的，但它不是n趋于无穷大时的无穷大。其极限不存在.*再如是无界函数,但不是无穷大.因为取而取无穷小与无穷大当所以f(x)不是无穷大!*证例无穷小与无穷大*函数的极限用定义证明的步骤：Step1：对不等式作适当的简化和缩小*无穷小与无穷大?两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;?有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;?有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;?用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.2.无穷大的性质定理4在自变量的同一变化过程中,无穷小与无穷大证明3.无穷小与无穷大的关系定理5在同一极限过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.类似地,可证恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量．证类似地,可证恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量．(隐藏)*无穷小与无穷大关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于*解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,例无穷小与无穷大得*预习：1.连续性2.闭区间上连续函数的性质连续函数和收敛函数的关系和区别*练习解先变形再求极限.原式=极限运算法则*解：原式=极限运算法则求：练习解由夹逼定理得*无穷小(infinitelysmall)无穷小的比较无穷大(infinitelygreat)第五节无穷小与无穷大第一章函数与极限*1.定义一、无穷小(量)无穷小与无穷大如果函数当(或)时的极限为零,那么称函数为当(或)时的无穷小.无穷小极限为零的函数*如,}无穷小与无穷大无穷小是指函数的变化趋势在自变量的某个过程中是无限接近0。*逻辑定义记作无穷小与无穷大*1)无穷小是变量,不能与很小的数（常量）混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一常数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化趋势的.“无限制变小的量”无穷小与无穷大定理1在自变量的某一变化过程中,（1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.（2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小.（3）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小.1,(1)和(2)的证明利用极限的四则运算.2.无穷小的运算性质无穷小与无穷大注*2.无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.不是无穷小.无穷小与无穷大注*证定理1(3)无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小.则当恒有无穷小与无穷大.,0为无穷小时当a×?\uxx*定理1(3)的精确写法

*常数与无穷小的乘积是无穷小；在同一过程中,有极限的变量与无穷小推论1推论2无穷小与无穷大定理1(3)的三个推论：

的乘积是无穷小.推论3在同一过程中,非零极限变量除无穷小仍是无穷小.*3.无穷小与函数极限的关系定理2无穷小与无穷大*无穷小与无穷大注上述定理对自变量的六种变化过程都成立！*如,不可比.观察各极限是无穷小.二、无穷小的比较无穷小的比较不存在.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.*定义记作无穷小的比较是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;ba,设.01a且记作同阶无穷小;等价无穷小,*无穷小的比较如高阶无穷小,因为*1.无穷小等价关系的性质*无穷小的比较*无穷小的比较*2.常用等价无穷小无穷小的比较连续性