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初中平面几何中的以静治动

平面几何是初中数学中两大组成部分之一，以图形为主体的初中几何，主要涉及三角形、四边形、圆等方面的知识；随着中考试题越来越注重学生利用数学知识处理实际问题的综合分析能力，近年来全国各个地区的中考数学试题中经常出现几何动点问题，成为中考数学试题的热点和难点之一，这类试题具有很强的灵活性，相对难度比较大，正是这种动态问题，让学生难以找出解决问题的切入口，给广大师生带来了不小的麻烦；本文笔者根据自身多年从事初中数学教学的经验，通过几道典型试题的解析过程的探析，总结如何将动态问题转化成静态问题进行处理，突出体现寻求不变量的过程与方法，探究动点几何问题的巧妙之处，旨在抛砖引玉，以供读者欣赏。

一、以线段长度为静的动态问题处理

【典型例题1】如图所示，一根木杆斜靠在一个直角支架上且，如图所示，木杆与水平支架夹角为，且，求（1）和的长度；（2）若木杆顶端沿下滑，同时沿向右滑行，当下滑至，向右滑行至，且满足，（如图所示）求长度；（3）若木杆顶端沿下滑，同时沿向右滑行，当下滑至，向右滑行至，和的中点分别为和，且满足（如图所示），求的长度和点移动的路径长度。

【解析过程】（1）中，，则

（2）设则，在中，，，

根据勾股定理可得：即即

则

（3）由题意可知：点和点分别是的斜边AB与的斜边的中点，则，，，则

由于，所以，则

则；

由于点在运动过程中，木杆长度不变，长度也始终保持不变，即则点运动的路径为一段圆弧，则点移动的路径长度即为该圆弧的弧长，即

【小结反思】本题主要考查利用直角三角形的性质处理实际问题，在木杆移动过程中，杆的长度保持不变，这是本题中的一个不变量，利用这个不变的静态量为本题的正确解题提供了明确的思路。根据直角三角形性质，斜边上的中线为斜边的一半，也是个不变量，这一性质为处理本题提供了理论依据。

二、以三角形面积为静的动态问题处理

【典型例题2】如图所示，矩形中，边上有一个可以自由移动的点，当运动至某一位置时，满足、，若，，求的值。

【解析过程】连接，如图所示；由题意可知：在中，

根据勾股定理得：（）则（）

根据矩形的性质特点得到：

由图形可知：

由于则即（）

【小结反思】本题主要考查矩形性质特点和直角三角形相关知识，借助于图形的面积处理问题，通过对辅助线连接，简单分析可得知：的移动引起和的面积的不断变化，但两个三角形面积之和却是个定值，而所求线段、恰好分别是两个三角形的高，和是他们的相等的底边，这些静态信息指引我们找到解题的突破口。

总而言之，对于平面几何中动态问题的处理，体现了学生利用数学知识处理实际问题的能力，这类问题在处理的过程中，要注重数学方法的灵活运用，以题中静态的不变量为线索，逐步引导从而准确找到解题的突破口，这种方法的应用有助于学生快速、准确解题。这也提醒了我们一线的初中数学教师，在平时数学课堂教学中，注重学生数学方法在实际问题中应用的训练，从而快速提高学生的数学解题能力。