中考数学押轴题型费马点相关问题.docx

费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来

费马(PierredeFermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1

7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪

称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．

二、探索费马点

当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A

C′=AC，

∴

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+P′C′BC′=

AB+AC．所以A是费马点．

作∠

作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=

AP．即把△APC以A为中心做旋转变

换．

则△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6

0°．

∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P

P′，

2

2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三

角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为

角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点．

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B

P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三

角形．

因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC

=P′A′+P′P+PC为最小．

当

当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′

B=∠APB=120°．

同理，若P′，P，C共线时，则∵∠

BPP′=60°，∴∠BPC=120°．

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．

费马点相关问题

等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6

+√2，求直角边的长度？

解答：如图

将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，

所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+PB最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。

下证这时的点P就在角ACB的平分线上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。

延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，设PF=x，则PA=PB=2x，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x，

有 2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。所以AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

向左转|向右转

求角CBN90度的方法：1.四边形内角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度

基千旋转的相关几何模型的整理

在平面内r诗—个图形绕—个宝屯r按某个方向转动—定的角度 ，这样的氐形运动称为旋转。

C

绕哪个点旋转？

向哪个方向旋转？

A转动了多少度？

A

三要素：旋转中心、旋转方；向旋转角度

例1

如图，或AD=L.C=90°1AE1.8C, E为BC上的一点，且AB=ADIA.E=S．求四边形ABCD的面

积

思跻；条 件DA=DC,为＂旋转＂葵定了差础，将线段AB绕若点A逆时针旋转90°，匠边形ADCB可转化为正方开炙 即可解决问 题

解法：过部 作OF...LBC于F}军ADE竺CDF.通过添加错助线达到了＂旋转＂的目的

...旋转一拖二盯

儒三勹c,iFf一．[[JJ俘二8如左图 ，等臣..:.ABC绕差点A按逆时针方向症转＂军军AB它位君，易知 ABC孚AB飞（即旋转后的主开冬－旋转前的图形全等）；如右困 ，若洼拴BIB、CC`『男证阴2.AIBB｀孚A