2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 利用导数研究函数的零点问题（解析版）.docxVIP

第05讲利用导数研究函数的零点问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：题型篇 1

题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题 1

题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 11

题型三：函数的图象与函数零点问题 19

第二部分：易错篇 26

易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 26

第一部分：题型篇

题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题

典型例题

例题1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，其中表示不大于的最大整数（如，），则函数的零点个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】令，则，

故函数的零点问题转化为与的交点问题，且，即，

如图所示：

由图可得；当时，与有3个交点，即当时，有3个零点；

当时，则，

构建，则当上恒成立，

则当上单调递增，故，

可得：当时，则，即当时，无零点；

综上所述：函数有3个零点.

故选：C.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

【答案】B

【详解】令，则，由，得，

∴当时，，当时，.

∴当时，取得最小值，

∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.

故选：B.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)在上有两个零点

【详解】（1）因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时，取最大值；

当时，取最小值.

（2）先讨论在上的零点个数，

由（1）可知，在上递减，，

所以在上递减，因为，

所以在上有唯一零点，

又因为，

所以是偶函数，所以在上有两个零点.

例题4．（2023·上海静安·统考二模）已知函数.（其中为常数）

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的最小值；

(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)只有1个，理由见解析

【详解】（1）解：当时，可得，

可得，所以且，

所以切线方程为，即，

即曲线所以曲线在点处的切线方程为.

（2）解：由函数，可得函数的定义域为，

又由，令，解得，，

当时，与在区间的情况如下表：

极小值

↗

所以函数的极小值为，也是函数的最小值，

所以当时，函数的最小值为

（3）解：当时，，令，解得（舍去）

所以函数在上有一个零点；

当时，与在区间的情况如下表：

0

0

↗

极大值

极小值

↗

所以函数在单调递增，在上单调递减，

此时函数的极大值为，

所以函数在上没有零点；

又由且函数在上单调递增，

且当时，，

所以函数在上只有一个零点，

综上可得，当时，在上有一个零点.

例题5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，其中为常数，．

(1)求单调区间；

(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）定义域为，

因为，

若，，所以单调递减区间为，

若，,

当时，，当时，，

所以单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：若且对任意，都有，

则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，

令，则单调性相同，

单调递减区间为，单调递增区间为，

且，，，

所以在(1e2，

所以在和各有且仅有一个零点，

即方程有且只有两个实根．

例题6．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数.

(1)当时，求曲线在处切线的方程；

(2)讨论函数在区间上的零点个数.

【答案】(1)y=-2

(2)答案见解析

【详解】（1），，

时的切线方程为；

（2）令，即，就是求此方程的解的个数，

，，令，原题等价于求曲线与直线在时交点的个数；

，令，

当时，单调递增，当时，，单调递减，

在时，取得最小值，，

是增函数，??，

当时，原函数无零点，当??时，有1个零点，当时，无零点；

综上，（1）切线方程为，当时，原函数无零点，当??时，有1个零点，当时，无零点.

精练核心考点

1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，，则函数的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【详解】当时，，所以不是函数的零点，

因为，所以，所以为偶函数，

当时，，，，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在时取得最大值，

所以当时，有唯一零点，

又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，

综上所述：函数的零点个数为.

故选：A

2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则的零点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】的