2024_2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.2直线上.docxVIP

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6．2.2直线上向量的坐标及其运算

6．2.3平面对量的坐标及其运算

【课程标准】

1.驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示.

2.会用坐标表示平面对量的加法，减法与数乘运算.

3.理解用坐标表示的平面对量共线的条件．

第1课时平面对量的坐标及运算

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

学问点一直线上向量的坐标

1．给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的随意一个向量a，肯定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．

状元随笔值得留意的是，假如直线上向量a的坐标为x，则x既能刻画a的模，也能刻画向量a的方向．事实上，此时

|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；

而且：当x0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x0时，a的方向与e的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．

2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则OA＝x1e，OB＝x2e，因此AB＝OB－OA＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝|AB|＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．

3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则OM＝12(OA＋OB)＝x1e+x2e2＝x1+x2

学问点二正交分解

1．向量垂直

平面上的两个非零向量a与b，假如它们所在的直线相互垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了便利起见，规定零向量与随意向量都垂直．

2．正交分解

假如平面对量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．

学问点三平面对量的坐标表示

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，假如a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).

状元随笔1.对平面对量坐标的几点相识

(1)设OA＝xeq\o(i,\s\up6(→))＋yeq\o(j,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面对量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．

(3)要把点的坐标与向量的坐标区分开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．

2．符号(x，y)的意义

符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).

学问点四平面对量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么

a＋b＝____________________，

a－b＝____________________，

λa＝(λx1，λy1).

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝________．

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．

基础自测

1．数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，AB的坐标为()

A．3 B．(3，0)

C．－3 D．(－3，0)

2．已知M(2，3)，N(3，1)，则NM的坐标是()

A．(2，－1) B．(－1，2)

C．(－2，1) D．(1，－2)

3．已知数轴上的一个单位向量e，向量a＝－23e，b＝13

A．b＝12a B．b＝－1

C．b＝2a D．b＝－2a

4．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1直线上向量的运算与坐标表示[经典例题]

例1(1)若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝13e，b＝－12e是这条直线上的向量，则|a＋2

(2)已知A，B是数轴上的点，B(－2)，且AB的坐标为4，求：

①点A的坐标．

②线段BA的中点C的坐标．

状元随笔利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解．

方法归纳

数轴上A点坐标为x1，B点坐标为x2

(1)AB坐标x2－x1，|AB|＝|x2－x1|

(2)线段AB的中点坐标为x

跟踪训练1(1)数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为()

A．－1 B．－8

C．4 D．1

(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标．

①2a＋b.

②5a－12b

(3)已知数轴上两点A，B的