必威体育精装版高考数学二轮复习-专题六-培优点8-圆锥曲线中非对称韦达定理的应用-学案讲义.pdfVIP

培优点8圆锥曲线中非对称韦达定理的应用

在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方

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程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x－x|，x＋x，＋之类的结构，但在有些问题中，

1212

xx

12

3xx＋2x－x

x11212

我们会遇到涉及x，x的不同系数的代数式的运算，比如求，或λx＋μx之类

1212

x22xx－x＋x

1212

的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”．

考点一分式型

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例1(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率

5

为.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，A，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在

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第二象限，直线MA与NA交于点P.证明：点P在定直线上．

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xy

(1)解设双曲线C的方程为－＝1(a0，b0)，

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ab

由焦点坐标可知c＝25，

c

5

则由e＝＝，

a

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可得a＝2，b＝c－a＝4，

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xy

所以双曲线C的方程为－＝1.

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(2)证明由(1)可得A(－2,0)，A(2,0)，

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设M(x，y)，N(x，y)，

1122

显然直线MN的斜率不为0，

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设直线MN的方程为x＝my－4，且－m，

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22

xy

与－＝1

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