必威体育精装版高考数学二轮复习-专题一-培优点2-隐零点问题-学案讲义.pdfVIP

培优点2隐零点问题

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，

但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体

代换和过渡，再结合题目条件解决问题．

考点一不含参函数的隐零点问题

a

2x3

例1(2023·咸阳模拟)已知f(x)＝(x－1)e－x＋ax(x0)(a∈R)．

3

(1)讨论函数f(x)的单调性；

1

2

(2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋lnx－x零点的个数，并说明理由．

2

2x2

解(1)由题知，f′(x)＝(x－1)e－a(x－1)

x

＝(x－1)(x＋1)(e－a)．

若a≤1，当0x1时，f′(x)0；

当x1时，f′(x)0，

∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；

若1ae，即0lna1，

当0xlna或x1时，f′(x)0；

当lnax1时，f′(x)0；

∴f(x)在区间(0，lna)上单调递增，在区间(lna,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；

若a＝e，f′(x)≥0，

∴f(x)在定义域上是增函数；

若ae，即lna1，

当0x1或xlna时，f′(x)0；

当1xlna时，f′(x)0；

∴f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增．

1

22x

(2)当a＝0时，g(x)＝lnx－x＋(x－1)e，定义域为(0，＋∞)，

2

1

2x

∴g′(x)＝－x＋(x－1)e

x

1

x

e－

＝(x＋1)(x－1)x，

1

x

设h(x)＝e－(x0)，

x

1

x

∴h′(x)＝e＋0，

2

x

∴h(x)在定义域上是增函数，

1

∵h＝e－20，h(1)＝e－10，

2

1

，1

∴存在唯一x∈2，使h(x)＝0，

00

x1x1

00

即－＝0，＝，－x＝lnx，

ee00

x0x0

当0xx时，h(x)0，即g′(x)0；

0

当xx1时，h(x)0，即g′(x)0；

0

当x1时，h(x)0，即g′(x)0，

∴g(x)在区间(0，x)上单调递增，在区间(x,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，

00