高等数学（大农类）1.4.1数列的极限.pptVIP

第一章一、数列的极限第四节机动目录上页下页返回结束函数的极限二、函数的极限三、无穷小量与无穷大量第一章1、数列极限的定义机动目录上页下页返回结束一、数列的极限2、收敛数列的性质3、极限存在准则1、数列极限的定义数列，简单地说就是一列有一定顺序的无限多个数：简记为称为数列的通项（或一般项）。刘徽目录上页下页返回结束另一定义：自变量取正整数的函数称为数列,例：P11，其中每一个数称作数列的项，第n项1.单调数列对于数列否则，无界数列。则称数列为单调增加数列；统称为单调数列。使得对恒有机动目录上页下页返回结束2.有界数列则称数列为有界数列，（对应函数的单调性、有界性），若对数列，反之，单调减少数列。若存在一个正数M，于任意的数学语言描述:极限的概念来源于现实问题求精确解。引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),当nN时,用其内接正n边形的面积总有刘徽目录上页下页返回结束于某一常数a，如何理解无限接近？极限的定义：若一个数列，当n无限增大时，无限接近以a为极限。则称数列例：P13xn与a的接近程度在数轴上可用点xn与定点a之间的距离|xn-a|来度量，即|xn-a|越小，xn与a越接近。极限的数学定义:若数列及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为a,机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与?有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取机动目录上页下页返回结束例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当nN时,就有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束2、收敛数列的性质1).收敛数列的极限唯一.机动目录上页下页返回结束例4.数列是发散的.2).收敛数列一定有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列(反证法证明)3).收敛数列的保号性.若且时,有推论:若数列从某项起(用反证法证明)4).收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明:内容小结1.数列极限的“?–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性机动目录上页下页返回结束思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.机动目录上页下页返回结束刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.?的方法:***运行时点击“刘徽割圆术”,或刘徽按钮,可放映刘徽简介*运行时点击“刘徽割圆术”,或刘徽按钮,可放映刘徽简介*