高等数学（大农类）8.1 基本概念.pptVIP

推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数及其微分学第八章第一节一、平面点集的一些概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念四、二元函数的连续性一、平面点集的一些概念1.邻域点集称为点P0的?邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径?,也可写成点P0的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:?若存在点P的某邻域U(P)?E,?若存在点P的某邻域U(P)∩E=?,?若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.D(2)开区域及闭区域?若点集E的点都是内点，则称E为开集；?若点集E??E,则称E为闭集；?若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,?开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;?连通的开集称为开区域,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。?E的边界点的全体称为E的边界,记作?E;例如，在平面上开区域闭区域????机动目录上页下页返回结束?整个平面?点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o?对区域D,若存在正数K,使一切点P?D与某定点A的距离?AP??K,则称D为有界域,界域.否则称为无1.二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．二、多元函数的概念P256例1.求的定义域．解：所求定义域为2.二元函数图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.三、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．确定极限不存在的方法：例2.设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证?若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.?二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束四、多元函数的连续性定义2.例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.P258定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则机动目录上页下页返回结束在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解:原式例4.求例5.求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念二元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束*例如*例如*(典P3