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2024年清华大学暑假文科营数学试题

2024年7月23日

一、填空题(每小题3.5分)

1.已知复数满足,则_________.

2.若不等式对任意均成立,则实数的取值范围是_________.

3.“”的充要条件是_________.

4.已知4个男生和3个女生排成一圈,则3个女生不相邻的概率是_________.

5.已知双曲线经过点,某条斜率为1的直线既经过点又经过双曲线的

一个顶点，则此双曲线的标准方程为_________.

6.平面直角坐标系中满足约束条件的整点个数为_________.

7.已知复数,则当取得最大值时,_________.

8.已知不等式的解集为,若,则实数的取值范围是_________.

二、多选题(每小题6分)

9.已知函数,则下列判断正确的是()

A.是周期函数B.的值域是

C.的图像关于直线对称D.在上有3个零点

10.已知实数满足,若增加一个条件,使得的最大值不变,则下列选项中

符合条件的有()

A.B.C.D.

三、解答题(每小题15分)

11.在中,角所对的边分别为,且.

（1）若,

①求;②求边的中线长；

（2）求面积的最大值.

12.已知公差不为0的等差数列满足且成等比数列.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足,

①求证:;②是否存在,使得.

13.如图,直线平面,点为中点.

（1）若,求的长;

（2）若,求直线与平面所成的角.

14.已知椭圆,直线经过坐标原点.与平行的直线与椭圆交于两点,其

中点,当直线轴时,直线经过椭圆的焦点.

（1）求椭圆的方程;

（2）若点满足,直线交于点,直线交于点,求

面积的取值范围.