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中考数学规律探索类题型

中考数学规律探索类题型

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关于n(n 1)公式的应用及拓展探究2

桃花山中学刘建红

随着社会的进步，考试也越来越注重对学生能力的培养和考查。根据中考要求，寻找规律将成为中考的热门考点，下面就n(n 1)公式谈谈

2

个人的肤浅认识。一：算法引领

在小学阶段，同学们就会求1 2 3 ...n的结果。在此，我重点强调引导谈公式的两种排列形式（即从大到小或从小到大）和结果的来历：设1 2 3 ...n s ①

则n (n 1)(n 2)...1 s②

①+②得n(n 1) 2s

故s n(n 1)

2

在该公式的应用中，特别注意对数列的排列及两端的数的调整。二：基本应用

第一种形式：从大到小摆列数序及算理研究。例题一：握手问题

有五个人，都要互相握手，共握手的次数是多少？引导：

第1人

第2人

第3人

第4人

第5人

握手次

4

数

3 2 1 0

总次数为：4 3 2 1 (41)*4

2

共有n个人，则握手次数为

握手次数

第1人

n-1

第2人

n-2

第3人

n-3

… 第n-1人 第n人

1 0

总次数为：(n 1)(n 2)...1 0 (n 11)(n 1) n(n 1)

2 2

类似例子

如：一条直线上共有n个点，则线段共有 条

(n 1)(n 2)...1 0 n(n 1)

2

例题二：数角问题：如图从一点引出4条不同的射线，共组成多少个不同的角（平角除外）

引导：首先定义基本单位均为一个单位

含有一个基本单位

含有2个

含有3个 含有4个

3 2 1 0

角的个数为：3+2+1=6（个）

从一个点引出9条射线不同角个数为8+7+6+...+1=36个

从一个点引出n条射线不同角个数为(n 1)(n 2)...1n(n 1)个

2

第二种形式：从小到大排列数序及算理研究

例题三 （数交点个数）n条直线相交最多有多少个交点

引导如图：

图形

直

线 算法分析 结论条

数

2 1

第三条直线与

已知直线均相

交

1+2=3

第四条直线与

已知直线均相

交增加了

个交点

增加了5

个交点

增加了

n 交点(n-1)个交点

1+2+6

1+2+3+4=10

1 2 3 ...(n 1)

n(n 1)

2

三拓展应用

例题四：从长沙开往广州沿途停靠距离不等的6个车站，共有多少种票价？共需多少种不同的车票？

分析：本题实际上是一条直线上有八个点，共能形成多少条线段第一问:7+6+5+4+3+2+1=28

第二问：28*2=56

例题五4条直线交于一点，共有多少对对顶角？

分析：依据对顶角的定义及作图特征，最多只含3个基本单位的角才能互为对顶角

含1个基本特征的对顶角：4对

含2个基本特征的对顶角：4对含3个基本特征的对顶角：4对共含对顶角对数为：4*3=12对

N条直线相交于一点，共有对顶角对数为：

分析：最多含（n-1）单位的角才能互为对顶角含1个基本特征的对顶角：n对

含2个基本特征的对顶角：n对含3个基本特征的对顶角：n对

…

含n-1个基本特征的对顶角：n对

此例类似高斯数学问题摸式，但从算理上不是同一类型要引导区别。

例题六：如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，…，则第n次平移后所得到的图案中正方形的个数是＿＿＿.

本例是探究数形结合关系的典型例子，下面本人从两个角度分析：

方法一：列举得出规律

n的数量

总正方形的个数

1

3

2

7

3

10

4

14

5

19

n

3+(n-1)*4=4n-1

方法二：分解大小正方形的个数

n的数量

大正方形

小正方形

总个数

1

2

1

3

2

3

4

7

3

4

7

11

4

5

10

15

5

6

13

19

n

N+1

1+(n-1)*3=3n-2

4n-1

总而言之，在研究规律时，一定遵循学生的认知规律，教给学生寻找规律的常规方法和常规思路。