2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 抛物线（含直线与抛物线的位置关系）（解析版）.docxVIP

第05讲抛物线（含直线与抛物线的位置关系）

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：抛物线定义 1

题型二：抛物线中的距离及最值问题 3

题型三：抛物线焦点弦（焦半径） 8

题型四：直线与抛物线的位置关系 10

题型五：抛物线中点弦问题 12

题型六：：抛物线弦长（面积）问题 16

题型七：抛物线中定点、定值问题 21

题型八：抛物线中定直线问题 27

题型九：抛物线中向量问题 31

题型一：抛物线定义

典型例题

1．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设焦点为，则，解得．

??

故选：D

2．（2023秋·高二课时练习）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．

【答案】；

【详解】根据题意，作图如下，

设点在其准线上的射影为，

由抛物线的定义得，

欲使取得最小值，就是使最小，

，当且仅当三点共线时，等号成立.

所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标，

设点的横坐标为，

为抛物线上的点，，

点的坐标为.

??

精练核心考点

1．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【详解】如下图所示：

??????

根据题意可得抛物线的准线方程为，

若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，

利用抛物线定义可知.

故选：A

2．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，

设准线与轴的交点为，

因为为靠近点的三等分点，可得，

又因为，可得,

又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为，

即点点的纵坐标为.

故选：C.

??

题型二：抛物线中的距离及最值问题

典型例题

1．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】依题意，可得出如下图形：

抛物线的方程为，

抛物线的焦点为，，准线方程为，

设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结，

则长即为点到轴的距离，可得，

根据抛物线的定义，得，

，

根据平面几何知识，可得，得.

当且仅当??三点共线时等号成立，

，

当??三点共线时，的最小值为，

即到轴的距离与到点的距离之和的最小值为.

故选：D.

2．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．

由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，

结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．

故选：C.

??

3．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于，

由抛物线定义可知，所以，

则当共线时取得最小值，所以最小值为．

故选：B．

4．（2023秋·全国·高二期中）设点P是抛物线上的一个动点.

(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)4

【详解】（1）如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离.

于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小.

显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.

??

（2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点，

??

此时，，那么,即最小值为4.

精练核心考点

1．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【详解】由抛物线可知其焦点为，准线方程为

记抛物线的焦点为，

??

所以，

当且仅当点在线段上时等号成立，

所以的最小值为3．

故选：A．

2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（????）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，

所以动点