2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 数列不等式（解析版）.docxVIP

第05讲数列不等式

目录

TOC\o1-2\h\u题型一：数列不等式中恒成立问题 1

角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题 1

角度2：根据数列中的恒成立求参数 6

角度3：数列中的恒成立的探索性问题 10

题型二：数列不等式中能成立（有解）问题 20

题型一：数列不等式中恒成立问题

角度1：判断（证明）数列中的恒成立问题

典型例题

例题1．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列满足，数列的前项和为，数列满足，数列的前项和为.

(1)求数列的前项和；

(2)求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）由，得，

故是以为首项，为公比的等比数列，

所以，得．

，

所以数列的前项和为．

（2）证明：，

所以，

，，故．

例题2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）解：解法一：由题①，，即②，由①②得，

由得，

所以当时，，

也满足，

所以数列的通项公式为；

解法二：由题，①，，即②，由①②得，

由，得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，

所以数列的通项公式为．

（2）证明：由（1）知，

所以，

两式作差得，

所以.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，.

(1)判定数列单调性；

(2)判断，是否恒成立.

【答案】(1)递增

(2)不恒成立

【详解】（1）解法一：

先证明一个性质：当时，总有.

证明：令，其中，则，

易得在上为减函数，而，，

因此在存在唯一的零点.

当时，；当时，.

故在上单调递增，在上单调递减，

而，故当时，总有，

即，从而上述性质得证.

令，，由上述性质可得，

故对任意的恒成立.

以下用数学归纳法证明：当且时，总有.

因为，所以成立；

设当时，成立，即，

所以，故成立.

由数学归纳法可知，对任意的且时，总有.

由对任意的恒成立.可得恒成立，

故数列单调递增.

解法二：

数列的生成函数为，其不动点为、和，

故数列的不动点为或者或者，如下图所示，

因为，由图可知，恒成立，

所以易知数列单调递增.

（2）解法一：

由（1）知，数列在上单调递增，

故.

先证明结论（）成立.

设，其中，

，易得在上单调递减，

而，，

故在上存在唯一的一个零点，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

而，所以当时，恒成立.

所以在上恒成立.

故当时，总有，即，

因为，所以，

由累乘法可得，整理得，

当时，则有，

即，此时.

所以（）不能恒成立.

解法二：

数列的生成函数为，易知，

将数列的不动点和代入得，，

因此为排斥不动点，

又因为，所以可以得到数列的蛛网图如图所示，

由图可知，，所以（）不能恒成立.

角度2：根据数列中的恒成立求参数

典型例题

例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，

所以，则，

不等式整理得，

当时，左边，右边，显然不满足不等式；

当时，左边，右边，显然满足不等式；

且当时，左边，右边，则不等式恒成立；

故当不等式成立时的最小值为9.

故选：B.

例题2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.

【答案】1

【详解】由题意知，，且，

则当时，，

两式相减得，

所以，

而，即，

又，解得，

数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，

则，

，

，

数列是单调递增的，，

而数列是单调递减的，，

因为，不等式恒成立，

则，不等式且恒成立，

因此且，即有，

又，所以的最小值是1.

故答案为：1

例题3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列与的前项和分别为，则______；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】设，，

则，

所以

，

所以.

又由，可得，

因为对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

设，

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以，所以，即实数的取值范围是.

故答案为：；.

例题4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，得，又，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

∴，即，

∴当时，

，

又不满足上式，所以.

（2）由（1）知，∴，

∴，①