2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第06讲 拓展三：三角形中周长、面积（定值，最值，取值范围）专题（解析版）.docxVIP

第07讲拓展四：三角形中周长、面积（定值，最值，取值范围）专题

目录

TOC\o1-2\h\u题型一：重点考查三角形周长问题 1

角度1：三角形周长（边长代数和）定值问题 1

角度2：三角形周长（边长代数和）最值问题 8

角度3：（锐角）三角形周长（边长代数和）范围问题 16

题型二：重点考查三角形面积问题 27

角度1：三角形面积定值问题 27

角度2：三角形面积最值问题 32

角度3：三角形面积范围问题 39

题型一：重点考查三角形周长问题

角度1：三角形周长（边长代数和）定值问题

典型例题

例题1．（2023·四川·校联考模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________．

(1)求的值；

(2)若的平分线交于点E，求的周长．

【答案】(1)2

(2)

【详解】（1）若选①：由可得,

又,

故,

而，故，

又，所以；

设，则，

??

在中，由余弦定理得,

即，

在中，由余弦定理得,

即，和联立解得，

则；

若选②：，设，则，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

即，解得，

故.

（2）由（1）可知，选①可得；选②可得，则，

故由，

可得，

解得，

故在中，，

即,

故的周长为.

例题2．（2023春·湖北孝感·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）如图，在中，，的角平分线交于点.

(1)求的值；

(2)若，，求的长.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）依题意，的角平分线交于点，

所以.

（2）设到的距离为，

由（1）得，所以，.

依题意，

由余弦定理得，

整理得，所以.

例题3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且的面积为，．

(1)求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为的面积为，所以，即①．

由余弦定理的推论，得．因为，所以②．

易知，①÷②，得．因为，所以．

（2）因为，所以，即，所以．

又，所以．

由正弦定理，得，所以，．

由（1），知，所以，所以，即，

所以，解得．

例题4．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）的内角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)若，的面积为，求的值．

【答案】(1)；

(2)5.

【详解】（1）由，正弦定理得：，

即，故.

因为，所以，可得，所以．

（2）由的面积，又，

所以.

由及余弦定理得，

故，从而，

所以．

精练核心考点

1．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.

(1)求角B的大小；

(2)若的面积为6，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）依题意，有，

由正弦定理，得，则.

，，

C为钝角，（舍去），

，

即，

因为C为钝角，所以B为锐角，所以（舍去），即.

（2），，；

，，

.

由正弦定理，得，，

的面积，解得，，

由正弦定理，得，，

的周长为.

2．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，

(1)求；

(2)若，，求的周长．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）在中，由余弦定理得，而的面积，

由，得，化简得，

两边平方得，即有，

又是锐角三角形，则，解得，

所以.

（2）由（1）得，又，则，

由余弦定理得：，即，

亦即，解得，

所以的周长为.

3．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)若的面积为，a＝3，求的周长．

【答案】(1)；

(2)8.

【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，

而，

于是，即，

又C为三角形内角，有，解得，，

所以.

（2）依题意，，于是，

由余弦定理得，，

即，解得，

所以的周长为.

4．（2023春·陕西·高一校联考期中）在中，角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若边上的高为，求.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由正弦定理得，

即，

又由，得，

所以，

由，得，所以，

则，所以，

由，得，则，即.

（2）因为边上的高为，所以，则，

由余弦定理得，则，

又因为，所以，解得.

5．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，角的对边分别为，．

(1)求；

(2)若的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，由正弦定理得：，

因为，所以，，即

又，所以.

（2）由及余弦定理知，,①

由面积公式：整理得：,②

结合①②可得,即得

，所以．

角度2