2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第07讲 构造函数解决导数不等式（比较大小）问题（解析版）.docxVIP

第07讲构造函数解决导数不等式（比较大小）问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：题型篇 1

题型一：根据构造原函数解不等式 1

题型二：根据构造原函数解不等式 5

题型三：根据不等式（求解目标）构造具体函数解不等式 12

题型四：构造不等式比较大小 18

第一部分：题型篇

题型一：根据构造原函数解不等式

典型例题

例题1．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是定义在上的可导函数,且满足,其中为的导函数.则对于任意,必有（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解:由题知,,

当时,，构造,

则,

故在上单调递减,

因为,所以,

所以，即，而，无法判断大小；

，即.

故选:C

例题2．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】当时，，∴，

令，∴在上单调递减，

又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，

∵，∴，

当，即时，，∴；

当，即时，，∴，则.

故不等式的解集为.

故选：A.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】函数的定义域为，则，

令，，则，即在上单调递增，

对于A，，即，A正确；

对于B，，即，B不正确；

对于C，，即，C不正确；

对于D，，即，有，D不正确.

故选：A

例题4．（2023春·北京海淀·高二校考阶段练习）定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（????）

A． B． C．D．

【答案】D

【详解】∵为奇函数，∴，

∴当时，，

又∵，∴，

当时，，∴在区间上单调递减，

又∵当时，，

∴为上的奇函数，

∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.

又∵，

∴，即，

∴，

∵在区间上单调递增，∴，

解得.

故选：D.

精练核心考点

1．（2023春·广东佛山·高二顺德一中校考期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设，，

由题意得时，，单调递增，

因为为偶函数，所以，

所以，

所以为奇函数，所以在上单调递增，

因为，所以，

因为，所以，

所以，所以，

故选：C．

2．（2023春·山东枣庄·高二统考期中）定义在R上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵，且，可得，

故原不等式等价于，

构建，则，

∵，则恒成立，

∴在定义域内单调递减，且，

则对于，解得，

故不等式的解集为.

故选：B.

3．（2023·全国·校联考二模）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】当时，，所以当时，，

令，则当时，，

故在上单调递增，

又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，

故在上单调递增，因为，所以，

当时，可变形为，即，

因为在上单调递增，所以，解得，故；

当时，可变形为，即，

因为在上单调递增，所以，解得，故无解.

综上不等式的解集为.

故选：C.

4．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（???）

A． B．C．D．

【答案】D

【详解】解：根据题意，设，则导函数，

函数在区间上，满足，则有，

所以，即函数在区间上为增函数，

，

所以，

则有，

解得，

即此不等式的解集为，

故选：D.

题型二：根据构造原函数解不等式

典型例题

例题1．（2023·江西·统考模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，化简得，

构造函数，

即当时，单调递增，

所以由，

则，

即.因为为偶函数且在上单调递增，

所以，解得.

故选：C.

例题2．（2023春·高二课时练习）定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由得：，即，

令，则，在上单调递减，

又，可化为，，

即不等式的解集为.

故选：A.

例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，

设，

所以，

所以在上单调递增，

因为，

所以，

所以，解得，

所以不等式的解集为，

故选：B

例题4