必威体育精装版高考数学二轮复习-专题二-微重点4-平面向量数量积的最值与范围问题-学案讲义.pdfVIP

微重点4平面向量数量积的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、

夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，

通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是

解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．

考点一求参数的最值(范围)

→3→

BCBD

例1(1)(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的

4

→→→

22

动点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围是________．

17

1，

答案9

→→

解析由题意设CE＝mCD，m∈(0,1)，

→3→

因为BC＝BD，

4

→1→1(→→)

CDBCAC－AB

所以＝＝，

33

m

→→→→m(→→)1＋→m→

所以AE＝AC＋CE＝AC＋AC－AB＝3AC－AB，

33

→→→

又AE＝λAB＋μAC，

m

λ＝－，

3

则m

μ＝1＋，

3

22

222

所以λ＋μ＝1＋m＋m

39

3

2m＋1

＝22＋，

92

又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得

317

2m＋11，

y＝22＋∈9，

92

17

1，

22

所以λ＋μ的取值范围是9.

(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，

则实数λ的取值范围为()

A．[－1,3]B．[－1,5]

C．[－7,3]D．[5,7]

答案A

解析∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，

∴|a|＝2，|b|＝1，

a·b＝2×1×cosθ＝2cosθ，

∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，

22

∴(2a＋b)≥(a＋λb)，

22222

∴4a＋4a·b＋b≥a＋2λa·b＋λb，

2

整理可得(13－λ)＋(8－4λ)cosθ≥0恒成立，

∵cosθ∈[－1,1]，

2

13－λ＋8－4λ≥0，

∴解得－1≤λ≤3.

2

13－λ－8＋4λ≥0，

规律方法利用共线向量定理及推论

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．

→→→

(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.

跟踪演练1(1)(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，

→→→→