必威体育精装版高考数学二轮复习-专题六-第4讲-母题突破4-探究性问题-学案讲义.pdfVIP

母题突破4探究性问题

22

xy

母题(2023·廊坊质检)已知椭圆C：＋＝1(ab0)经过点A(－2,0)，且两个焦点及短轴

22

ab

两顶点围成四边形的面积为4.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)设P，Q为椭圆C上两个不同的点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，

且P，O，Q三点共线．其中O为坐标原点．问：在x轴上是否存在点M，使得∠AME＝∠EFM？

若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

思路分析

❶代入点，结合面积求方程和离心率

❷设点P，Q，表示出直线AP，AQ的方程

❸求出E，F的坐标,

→→

❹由∠AME＝∠EFM得ME·MF＝0,

❺利用向量运算求点M的坐标

1

解(1)依题意可得a＝2，×2c×2b＝4，

2

222

又c＝a－b，解得b＝c＝2，

22

xy

所以椭圆方程为＋＝1，

42

c2

则离心率e＝＝.

a2

(2)因为P，O，Q三点共线，根据椭圆的对称性可知P，Q关于O点对称，如图，

设点P(x，y)，则Q(－x，－y)(x≠±2)，

11111

所以直线AP的方程为

y＝y1(x＋2)，

x＋2

1

直线AQ的方程为y＝－y1(x＋2)，

－x＋2

1

2y1－2y1

0，0，

所以点Ex＋2，F－x＋2.

11

假设存在M使∠AME＝∠EFM，

因为∠MOE＝∠FOM＝90°，

所以∠OMF＝∠OEM，

又∠OEM＋∠OME＝90°，

所以∠OME＋∠OMF＝90°，

即ME⊥MF，

→→

MEMF

所以·＝0，

2y1

→－m，

MEx＋2

设M(m,0)，则＝1，

－2y1

→－m，

MF＝－x＋2，

1

→→2－2y12y1

MEMF

所以·＝m＋·＝0，

－x＋2x＋2

11

－4y2

1

2

即m＋＝0，

4－x2

1

22

xy

11

又＋＝1，

42

22

所以x＋2y＝4，

11

22

所以m－2＝0，解得m＝±，

所以M(±2，0).

故在x轴上存在点M(±2，0)，使得∠AME＝∠EFM.

22

xy(3，0)

[子题1](2023·西安模拟)已知椭圆