必威体育精装版高考数学二轮复习-专题六-培优点7-隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形-学案讲义.pdfVIP

培优点7隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形

在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德

三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度

为中高档．

考点一隐圆(阿波罗尼斯圆)

核心提炼

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)

2

λ＋12aλ

a，0||

22

的点的轨迹是以Cλ－1为圆心，λ－1为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．

例1(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足：

|PA|＝λ(λ0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐

|PB|

|PA|1

标系中，A(－2,0)，B(4,0)，动点P满足＝，则下列关于动点P的结论正确的是()

|PB|2

22

A．点P的轨迹方程为x＋y＋8x＝0

B．△APB面积的最大值为6

|PM|1

C．在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得＝

|PN|2

D．若点Q(－3,1)，则2|PA|＋|PQ|的最小值为52

答案ACD

解析对于选项A，设P(x，y)，

|PA|1

因为P满足＝，

|PB|2

22

x＋2＋y1

所以＝，

222

x－4＋y

22

化简得x＋y＋8x＝0，故A正确；

对于选项B，由选项A可知，

22

点P的轨迹方程为x＋y＋8x＝0，

22

即(x＋4)＋y＝16，所以点P的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆，

又|AB|＝6，且点A，B在直径所在直线上，

故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时，△APB的面积取得最大值，

因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△APB的高的最大值为4，

1

所以△APB面积的最大值为×6×4＝12，故B错误；

2

|PM|1

对于选项C，假设在x轴上存在异于A，B的两定点M，N，使得＝，设M(m,0)，N(n,0)，

|PN|2

22

x－m＋y1

故＝，

222

x－n＋y

2222

即x－n＋y＝2x－m＋y，

22

8m－2n4m－n

22

化简可得x＋y－x＋＝0，

33

22

又点P的轨迹方程为x＋y＋8x＝0，

8m－2n

－＝8，

3