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课题:1.3.2空间向量运算的坐标表示
(一)课时教学内容:
空间向量运算的坐标表示,向量平行和向量垂直时坐标之间的关系,向量长度公式的坐标表示、两向量夹角公式的坐标表示,以及空间两点间的距离公式.
(二)课时教学目标:
通过本节学习,使学生掌握空间向量运算的坐标表示,并会应用这些知识解决简单的立体几何问题,发展数学运算和逻辑推理等素养.
(三)教学重点与难点:
教学重点:空间向量运算的坐标表示;
教学难点:
1.类比平面向量运算的坐标表示进行推广得到空间向量运算的坐标表示;
2.利用空间向量运算的坐标表示解决一些立体几何问题.
(四)教学过程设计:
1.情境创设,规律探究
探究1:有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗?
追问1:平面向量有哪些运算?我们又是如何对这些运算进行坐标表示的呢?
设,则
,
,
,
.
追问2:你能否类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算坐标表示呢?
设,与平面向量运算的坐标表示一样,我们有:
,
,
,
.
追问3:你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢?
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
第一步:由空间向量基本定理,设为空间的一个单位正交基底,
则,.
第二步:利用向量数量积的分配律以及,得
.
注:
(1)其他运算的坐标表示可以类似证明,请同学们自己完成.
(2)由上述结论可知,空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
例如,我们有:一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
即:设,则向量.
设计意图:空间向量与平面向量相比,虽然研究对象(维数和图形)改变了,但研究套路不变,思想方法不变.因此对空间向量的处理可以充分利用它与平面向量的“相似性”进行简洁化处理.
问题1:必修1中我们已经了解到平面向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题,类似地,空间向量是否也可以呢?
追问1:如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直?
预设:
设,当时,的充要条件是,其坐标表示为:.
类似平面向量运算的坐标表示,设,我们可以得到:
①当时,;
②.
追问2:除了上述对空间向量位置关系的研究,类比平面向量运算的应用,你能否总结出空间向量的度量关系,如空间向量长度和夹角的坐标表示?
预设:
平面向量的长度和夹角公式:设,则
,.
设,,则.
类似地,设,空间向量的长度和夹角公式如下:
,.
设,则.
设计意图:由于空间向量与平面向量“同构”,学习时务必强化类比,充分调动平面向量学习中积累的数学活动经验,通过类比进行整体架构,形成研究思路,获得研究方法,并且要注意维数的变化所产生的差异性.
探究2:你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗?
师生活动:如图,建立空间直角坐标系,设是空间中任意两点,则
于是
所以.这就是空间两点间的距离公式.
特别地,空间向量的模可以理解为点到原点的距离,这是空间两点间距离公式的特殊化.
追问:我们知道,几何的本质在于度量,度量的本质在于长度.设是空间直角坐标系中的任一向量,将其始点移到原点,得,其中,点在平面内的投影是,依勾股定理,有.据此你能得空间两点间的距离公式吗?
预设:.
设计意图:学生从推导过程不难发现,上述公式是基于勾股定理,这样的距离叫欧几里得距离.其实,垂直反映了距离的本质,因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题.
2.例题精讲,知识应用
例1如图,在正方体中,分别是的中点,求证.
师生活动:
追问1:如何利用向量刻画两条直线的垂直关系?
预设:要证明,只需证明,即证.
追问2:向量的坐标怎么求?
解答:不妨设正方体的棱长为,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
所以.
又因为点,所以.
所以.
所以,即.
设计意图:让学生从本题的分析解答中体会“根据问题特点建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素,并通过向量及其坐标的运算求解问题”的基本思路,与综合法相比较,在正方体为背景的问题中,建立空间直角坐标系,通过坐标运算进行解决是非常方便的.也可让学生尝试建立不同的坐标系解决问题,使学生体会“适当”的含义.
例2如图,在棱长为的正方体中,为的中点,分别在棱上,.
(1)求的长;
(2)求与所成角的余弦值.
师生活动:
追问1:如何求空间两点间的距离?
预设:直接利用向量长度公式即可.
追问2:异面直线所成角与两向量夹角范围一致吗?
预设:
异面直线所成角的范围是,而向量夹角的范围是.
当与所成的角为锐角或直角时,异面直线与所成的角和向量的夹角相等;当与所成的角为钝角时,异面直线与所成的角为向量夹角的补角.
解答:(1)建系如图所示的空间直角坐标系,则,于
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