高中数学3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)教学设计.docx

课题3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）

（一）课时教学内容

椭圆的简单几何性质

（二）课时教学目标

1、能在直观认识椭圆的图形特点的基础上，用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心离等简单几何性质，并能用它们解决简单的问题，从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法.

2、通过对椭圆标准方程的分析和研究，初步掌握在解析几何中是怎样用代数手段研究曲线性质的方法，逐步领会解析法（坐标法）的数学思想，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算素养；

3、能利用椭圆的几何性质解决一些简单的数学问题，发展数学建模素养.

（三）教学重难点

重点：椭圆简单的几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；逐步领悟解析法（坐标法）的数学思想．

难点：掌握利用曲线方程研究椭圆性质的方法，熟悉离心率等一系列椭圆相关概念及其相互关系．

（四）教学过程设计

1、创设情境，提出问题

问题1：与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，你觉得应该研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？

师生活动：通过讨论，在观察椭圆的基础上，明确应研究椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度等.研究的基本思路与方法是先“形”后“数”，即在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程进行计算和推理.

设计意图：让学生在明确要研究的问题、研究方法指引下学习与探究，提高思维的主动性、深刻性，避免思维的波动性和盲目性.

2、由形到数，探究新知

（1）范围

问题2：观察图3.1-7，你能从图上看出它的范围吗？

师生活动：教师提出问题，学生能答出：椭圆围在一个矩形内．教师再请学生补充完整：椭圆位于四条直线所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的．

追问：刚刚的结论我们是从图中直接观察出来的，那同学们能否利用我们上节课学习的椭圆标准方程，通过代数方法来论述其范围呢？

师生活动：教师引导学生利用方程变形和不等式的性质进行推导，并补充运用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围．

证明：由方程可知，

所以，即，同理有，即.

这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.

设计意图：明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎样通过方程进行严格的证明.

（2）对称性

问题3：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？

师生活动：教师引导学生观察椭圆的形状，得到它既是轴对称图形，又是中心对称图形

追问：我们不能满足于观察得到的结果，数学结论必须通过代数方法去论述，请同学们仿照讨论椭圆范围的方法，来研究其对称性．

师生活动：教师引导学生利用椭圆方程进行推导，以代，方程不变．这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称．同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称．以代，代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称．

并引导学生得到最后的结论：椭圆关于轴、轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎样通过方程判断曲线是否关于坐标轴或原点对称.

（3）顶点

问题4：根据椭圆的标准方程绘制出椭圆，你认为如何画比较准确，椭圆上哪几个点比较特殊，应该要先绘制出来呢？

师生活动：由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点．教师启发学生与一元二次函数的图像的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义.

追问：同学们能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

师生活动：学生自主探究,求出四个顶点坐标．即令,得，则,是椭圆与轴的两个交点．同理，令,得,则,是椭圆与轴的两个交点．因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点

教师引导学生，得到线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

设计意图：明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路和方法.

（4）离心率

问题5：在学习椭圆定义的第一节课时，我们可以用一根细绳画出椭圆的形状，若细绳都是同样长的，画出的椭圆形状都一样吗？影响了椭圆的什么形状特征？

师生活动：不难发现，当两个定点间距离不同时，椭圆的形状就会不同，影响了椭圆的扁平程度．

追问1：通过绘制椭圆形状的小实验，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

师生活动：学生动手实验，不断改变定点之间的距离，比较所画出椭圆的扁平程度和定点之间距离的关系；教师可以利用信息技术，绘制椭圆，保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平