高等数学教程　下册　第4版 课件 10.1 多元函数的极限与连续.ppt

第十章多元函数微分学及其应用10.1多元函数的极限与连续直角坐标系中,10.1.1n维空间一元函数的定义域可用数轴上的点来表示,记R2为二元数组(x,y)的全体,称为二维空间,平面上的点与二元数组(x,y)一一对应.在平面在空间直角坐标系中,类似地,空间上的点与三元数组(x,y,z)R3为三元数组(x,y,z)的全体,一一对应,称为三维空间.n元有序数组n维空间中的每一个元素称为n维空间中两点间的距离定义为记作一般地,设n为正整数,的全体称为n维空间,空间中的一个点.邻域:设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0令有时简记为称为将邻域去掉中心,称为空心邻域.记为我们先讨论平面上的点集.内点:显然,E的内点属于E.边界点:如点P的任一邻域内则称P为E的边界点.设E为一平面点集,若存在则称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界.既有属于E的点,也有不属于E的点,例如,设点集则P为E的内点;则P为E的边界点.E的边界为集合聚点:如果点P的任何空心邻域都有E中的点,则称P是E的聚点.开集:若E的任意一点都是内点,则称E为开集.例如,为开集,为闭集,既不是开集也不是闭集.设点集,则称E为闭集.如果E的补集是开集，设D是开集,连通的开集称区域或开区域.如果D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,则称D是连通的.如都是区域.结起来,开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界区域:否则,称为无界区域.都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,为D的直径.有界闭区域的直径：设D是有界闭区域,称称为有界区域.有关邻域、区域等概念可推广到n维空间.都有唯一确定的z与之点集D称为该函数称为该函数的值域.则称z是x,y的二元函数.定义若对于D中设D是xOy平面上的点集,任意取定一个点P(x,y),对应,记为称x,y为自变量,的定义域,数集z为因变量,10.1.2多元函数的极限二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数定义域类似地,可定义n元函数变量取值的全体.抽象的函数:定义域为使运算有意义的自变量取实际问题中的函数:定义域为符合实际意义的自值的全体.例1求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.当x、y取遍D上一切点时,得一个空间点集,对应的函数值为取定的这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标设函数的定义域为D,对于任意在空间就确定一点二元函数的图形通常是一张曲面例如,图形如右图.例如,图形是球面.单值分支:定义域记作定义10.1设二元函数在D有定义,有成立.时的极限.P0(x0,y0)是D的聚点.A为常数,也记作如果说明:(1)二元函数的极限也称二重极限;(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;称为二次极限;(3)与(4)欲证明极限存在,常用定义或夹挤定理;(5)类似地,可以给出n元函数极限的定义.Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,路径又是多种多样的.Oxy注:(2)动点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为总可以用来表示极限过程不论的过程多复杂,例2设函数是否存在.解令故极限存在,且讨论极限