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课题:2.1.2两条直线平行和垂直的判定
(一)教学内容:
内容
两条直线平行和垂直的判定.
内容解析
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线,我们从确定直线位置的几何要素出发,引入直线的倾斜角,再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率,从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式,从而把几何问题转化为代数问题.
由于两条直线平行和垂直取决于它们的方向,所以由斜率的关系就可以判断两条直线平行和垂直关系.
(二)教学目标:
1.初步了解利用直线的斜率判断直线的平行和垂直.
2.通过探究两直线平行和垂直的条件,进一步体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法.
3.在探寻利用直线的斜率判断直线的平行和垂直的过程中,体会数形结合、化归转化思想。
(三)教学重难点:
1.教学重点:
两条直线平行和垂直的条件
2.教学难点:
将判断两条直线平行和垂直转化为判断两直线斜率的关系来研究
(四)教学设计:
一、情境导学
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
设计意图:通过生活中的现实情境,提出问题,明确研究问题运用代数方法探究两直线平行与垂直问题,引导学生回顾初中两直线平行与垂直的几何知识,为探究运用斜率判断直线平行和垂直作知识上的准备。
二、探究新知
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线,我们从确定直线位置的几何要素出发,引入直线的倾斜角,再利用倾斜角与直线上点的坐标系引入直线的斜率,从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式,从而把几何问题转化为代数问题.下面,我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系.
问题1我们知道,平面中的两条直线有两种位置关系:相交、平行.当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?
教师讲解:如图,
若l1∥l2,则l1与l2的倾斜角α1与α2相等,由α1=α2,可得tanα1=tanα2,即k1=k2.因此,若l1∥l2,则k1=k2.
反之,当k1=k2时,tanα1=tanα2,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,α1=α2,因此l1∥l2.
于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有
l
l1∥l2k1=k2.
显然,当α1=α2=90°时,直线的斜率不存在,此时l1∥l2.
若直线l1,l2重合,此时仍然有k1=k2.用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论.
设计意图:由坐标系中的直线,让学生理解直线倾斜角和斜率的概念。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
问题2显然,当两条直线相交时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交.在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形.当直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?
设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,k1),b=(1,k2),于是,即k1k2=-1.也就是说,.
当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若l1⊥l2,则另一条直线的倾斜角为0°;反之亦然.
由上我们得到,如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.即
l
l1⊥l2k1k2=-1.
设计意图:把直线垂直的特殊几何位置关系,转化成代数形式.
三.新知应用
例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系,并证明你的结论.
解:如图,
直线BA的斜率kBA==,
直线PQ的斜率kPQ==.
因为kBA=kPQ,所以直线AB∥PQ.
设计意图:通过斜率相等来判定两直线平行.
例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),
C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
解:如图,
AB边所在直线的斜率kAB=-,
CD边所在直线的斜率kCD=-,
BC边所在直线的斜率kBC=,
DA边所在直线的斜率kDA=.
因为kAB=kCD,kBC=kDA,所以AB∥CD,BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
设计意图:注意数形结合,利用直线的斜率判断位置关系---平行.
例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
解:直线
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