高中数学人教版新教材 2.1.2两条直线平行和垂直的判定课时教学设计.docx

课题：2.1.2两条直线平行和垂直的判定

（一）教学内容：

内容

两条直线平行和垂直的判定.

内容解析

为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．

由于两条直线平行和垂直取决于它们的方向，所以由斜率的关系就可以判断两条直线平行和垂直关系．

（二）教学目标：

1.初步了解利用直线的斜率判断直线的平行和垂直．

2.通过探究两直线平行和垂直的条件，进一步体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法．

3.在探寻利用直线的斜率判断直线的平行和垂直的过程中，体会数形结合、化归转化思想。

（三）教学重难点：

1.教学重点：

两条直线平行和垂直的条件

2.教学难点：

将判断两条直线平行和垂直转化为判断两直线斜率的关系来研究

（四）教学设计：

一、情境导学

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?

设计意图：通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线平行与垂直问题，引导学生回顾初中两直线平行与垂直的几何知识，为探究运用斜率判断直线平行和垂直作知识上的准备。

二、探究新知

为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．

问题1我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？

教师讲解：如图，

若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1=α2，可得tanα1=tanα2，即k1=k2．因此，若l1∥l2，则k1=k2．

反之，当k1=k2时，tanα1=tanα2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1=α2，因此l1∥l2．

于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有

l

l1∥l2k1=k2.

显然，当α1=α2=90°时，直线的斜率不存在，此时l1∥l2．

若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．

设计意图：由坐标系中的直线，让学生理解直线倾斜角和斜率的概念。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

问题2显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？

设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=（1，k1），b=（1，k2），于是，即k1k2=-1.也就是说，．

当直线l1或l2的倾斜角为90°时，若l1⊥l2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．

由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即

l

l1⊥l2k1k2=－1.

设计意图：把直线垂直的特殊几何位置关系，转化成代数形式.

三．新知应用

例1已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．

解：如图，

直线BA的斜率kBA==，

直线PQ的斜率kPQ==．

因为kBA=kPQ，所以直线AB∥PQ．

设计意图：通过斜率相等来判定两直线平行.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），

C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

解：如图，

AB边所在直线的斜率kAB=-，

CD边所在直线的斜率kCD=-，

BC边所在直线的斜率kBC=，

DA边所在直线的斜率kDA=．

因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．

因此四边形ABCD是平行四边形．

设计意图：注意数形结合，利用直线的斜率判断位置关系---平行.

例3已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系．

解：直线