高中数学 5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学设计.docx

5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式

一．教学内容

?“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

二．教学目标

根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

?1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

?2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

?3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

三．教材分析

对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

四．教学重点、难点

1.教学重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；体会化归、转化等基本数学思想；能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明。

2.教学难点：灵活应用二倍角公式，熟练解三角综合题。

五．教学过程

（一）导入新课

上一节我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，大家回忆一下.

，

，

.

当时，我们能否由此得到，，的表达式呢？

（二）新知探究

1.公式的推导.

根据刚才的复习，学生自己动手，把上述公式中的换成即可.

（1），

令，得.

（2），

令，得.

（3），

令，得.

2.思考.

把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？

.

3.二倍角公式的变形.

（1）公式的逆用：

，，

，.

（2）二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式

升幂公式：

，，

，；

降幂公式：

，.

（三）例题讲解

例1已知，，求，，的值.

分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.

解：由，得.

又因为，

所以.

于是；

；

.

点评（1）本例是直接应用二倍角公式解题，解题的关键是由及，求出的值，代入二倍角公式直接计算即可.

（2）为了保证计算的正确性，最好使用原始数据，如选用公式就是如此.

（3）本题也可以先求出，再用求值.

练习：教材第223页练习第1题.

例2在中，，，求的值.

想一想1：的三个内角和满足什么关系？每个内角的取值范围是什么？

想一想2：可以看作哪两个角的和？是哪个角的二倍角？

分析：由的值及为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而确定出的值；利用二倍角的正切公式结合已知的值分别求出与的值，利用两角和的正切公式将所求式子化简后，把各自的值代入即可求出结果.

解法一：在中，由，，得

，

所以，

.

又，

所以.

于是.

解法二：在中，由，，得

，

所以.

又，

所以，

所以.

点评：以上两种解法都是对倍角公式、和角公式的综合应用.解法一的思路是把看成与的和，先由已知条件分别求出与的值，再应用两角和的正切公式求解.解法二的思路是把看作的倍角，先利用条件求出，再依据正切的二倍角公式求.

（四）课堂小结

本节我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式，要熟练记忆，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

（五）巩固提升

教材第223页练习第4，5题.

六．教学反思

用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，这种代换是常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换.

如，，，，等.

再如1，，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数值使用.

例如：.

这些内容，都可以在教学中对学生进行适当的渗透，使其在解题时对方法的选择更加灵活多样.

七．课后练习

A级基础巩固

一、选择题

1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(B)

A．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小