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4.3.2对数的运算
(一)教学内容
1.内容:
对数的运算性质以及换底公式.
2.内容解析:
对数及其运算是推动数学发展的重要源泉和动力之一,是数学的基石.在对数的概念中,我们了解到:指数与对数存在着不可分割的关系,因此对数运算与指数幂运算也是紧密相连的.
对数的运算性质是进行对数计算的重要依据.指数幂运算和对数运算是两类重要的运算,指数幂运算源于数的自乘,对数则是指数幂中指数的等价表示形式,因此,利用指数运算性质可以得出相应的对数运算性质:
编号
指数运算性质
对数运算性质
1
2
3
对数概念的提出,进一步的完善了数学运算体系.在算术运算中,运算有等级之分,加法、减法为一级运算,乘法、除法为二级运算,乘方、开方、对数为三级运算.从上述对数运算性质中,我们可以清晰地认识到对数在处理运算中的降级特征:对数中真数的乘、除、乘方运算,可以转化为对数的加、减、乘法运算.当然,对于这一特征的理解,还是要结合指、对数的关系进行:在指数式中,真数即为幂,对数即为指数,指数幂运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”,“指数相加”即为“对数相加”.
数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数和自然对数.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础,利用此公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数,从而方便地求出这些对数.
因此,本节课的教学重点是:以“指数与对数的关系”为指引,学习和应用对数的运算性质以及换底公式.
(二)教学目标
1.目标:
(1)经历对数运算性质的形成过程,理解对数的运算性质,体会对数运算的降级特征;
(2)经历换底公式的形成过程,理解换底公式,体会换底公式在对数求值中的作用;
(3)可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题,发展数学运算核心素养.
2.目标解析:
达成上述目标的标志是:
(1)学生知道对数的运算与指数幂运算的关系,能在明晰指数幂的运算性质的基础上推导得出对数的运算性质,在应用的过程中结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征,理解数学家发明对数的初衷;
(2)学生能指出换底公式的作用,能推导得出换底公式;
(3)学生会用对数的运算性质解决问题,能进行对数间的化简、运算,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
(三)教学问题诊断分析
本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导,学生对于对数的运算性质的困惑主要在于对于对数概念的不熟悉,为了解决此问题,还是要紧扣指、对数之间的关系,结合指数幂的运算性质进行学习.在三个运算性质中,教师可以引导第一个性质的推导,其余的性质由学生仿照得出,在推导的过程中,可以将指数幂和对数的运算性质对照列出,以便学生理解.
第二个学习难点是对数的换底公式的推导,教科书为此设计了一组探究活动.教学时,可以充分利用这组探究活动,使得学生逐步感受提出换底公式的必要性,经历由特殊到一般的过程推导得出换底公式.
(四)教学过程设计
1.复习引入
引导语:研究数的基本套路应该是,先认识数,规定运算,然后研究性质以简化运算.
问题1:在引入对数之后,自然应研究对数的运算性质,我们已经知道了对数与指数间的关系,能否利用指数运算性质得出相应的对数运算性质呢?
师生活动:教师引导学生回忆指数运算性质以及指、对数的关系,学生初步感受对数运算与指数运算的联系.
追问1:利用对数与指数的关系,你能将指数幂的运算性质“”中所有指数式转化为对数式吗?看一看它们之间有什么关系,由此可得关于对数的什么关系?
师生活动:先由学生尝试解决,然后进行展示,教师帮助或者由教师进行推导.
由于是,
且由对数的定义得到,,,
所以(1).即:同底对数相加,底数不变,真数相乘.
追问2:仿照上面的推导过程,对照指数幂另外两个运算性质,你能得出对数运算的其他性质吗?请加以证明.
师生活动:学生独立完成,集中进行展示、修改.
指数幂的运算性质有:(1)(2)现将各式化为对数形式可得:设因为,所以.
根据对数与指数间的关系可得,
(2)设,因为,所以
根据对数与指数间的关系可得,
于是得到对数运算性质:如果,那么
(2);
(3).
设计意图:类比指数幂的运算性质得出对数的运算性质,培养学生从已有知识获得研究新知识的思路与方法的能力.
2.性质的初步应用
例1.求下列各式的值:
;.
解:;
.
追问3:根据题目中运算对象的特点,应该选择哪条运算性质作为依据?
师生活动:观察题目中运算对象的特点,(1)题应该选择第3条性质,(2)题应选择第(1)个性质,之后根据化简的情况再
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