高中数学 5.3诱导公式 教学设计.docx

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课题：5.3诱导公式

第1课时

(一)教学内容

从单位圆的对称性出发探究诱导公式，即通过把圆的对称性“代数化”，获得诱导公式二～公式四，并运用诱导公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明.

(二)教学目标

1.借助单位圆的对称性，根据三角函数的定义导出诱导公式二～公式四，突出诱导公式的本质（圆的对称性的代数表示），并使之成为一个有机的整体，注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象素养.

2.理解诱导公式，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升学生的数学抽象与逻辑推理素养.

3.能运用诱导公式二～公式四解决三角函数式的化简、求值和证明，理解诱导公式解题的基本步骤，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升学生的数学运算素养.

(三)教学重难点

1.教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式二～公式四，进行简单三角函数式的求值化简.

2.教学难点：对角为任意角的理解.

(四)教学过程

1.创设问题情境，提出研究问题

引导语：我们总是喜欢称三角函数为“圆函数”，结合前几节课的学习，大家知道为什么吗？前面我们利用单位圆上点的坐标定义了任意角的三角函数，并根据定义得出了诱导公式一；我们利用单位圆的几何特征，得到了同角三角函数之间的基本关系式.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，是否可以利用圆的对称性来研究三角函数的对称性呢？这就是我们今天要研究的任务.

研究的线路图：单位圆的对称性(形)—三角函数的对称性(数)

探究1：如图1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点.

(1)作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？

(2)角，的三角函数值之间有什么关系？

师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善思路.

如图2，以为终边的角都是与角终边相同的角，即().因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.

设()，().因为是点关于原点的对称点，所以，.

根据三角函数的定义，得，，；

，，.

公式二：，，.

设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性（在坐标系中关于原点对称）代数化，并得到诱导公式二.以此探究作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解决问题做好奠基工作，培养用联系的观点看问题的习惯．

追问1：如果点在第二象限，那么点的坐标与点的坐标之间有什么关系？如果点在轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角的大小可以是多少？

预设答案：不论点在哪里，点的坐标与点的坐标之间关系不变，即公式二对任意角都成立.

追问2：探究公式二的过程，你能梳理一下研究思路吗？每一步蕴含的数学思想是什么？

预设的答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的关系．从形的角度研究.

第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示,体现了数形结合思想．

第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性．

设计意图：追问1旨在帮助学生理解角的任意性，追问2旨在提炼数学思想方法.

2.类比探索，整体认知

探究2：借助于平面直角坐标系，类比探究1，你能说出单位圆上哪些特殊的关于点的对称点？按照如上探究1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式.

师生活动：学生先独立思考，再分小组讨论，尽量多地写出点的对称点，然后再将之代数化，分小组展示交流，得到相应的诱导公式．

预设的答案：单位圆上点的特殊对称点：第一类，点关于轴、轴的对称点；第二类，点关于特殊直线的对称点，如，；第三类，点关于轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点，等等.第一课时先解决第一类.

1.如图3，作关于轴的对称点：

以为终边的角都是与角终边相同的角，即().因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.

设().因为是点关于轴的对称点，所以，.

根据三角函数的定义，得，，；

，，.

公式三：，，.

2.如图4，作关于轴的对称点：

以为终边的角都是与角终边相同的角，即().因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.

设().因为是点关于轴的对称点，所以，.

根据三角函数的定义，得，，；

，，.

公式四：，，.

追问3：公式三和公式四中的角可以是多大的角？

预设的答案：角是任意角.

设计意图：类比探究1，进一步探索发现．这是一个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比探究1进行分析，解决问题．体会研究路径和研究方法的一致性.

3.初步应用，建立程序

例1.利用公式求下列三角函数值：

(1)；(2)